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Variation einer Different!al,Functi on.
ß. 359.
Dieses vorausgesetzt erhält man, wie man sieht, die Varia
tion einer beliebigen x, y und ihre Differentiale von beliebigen
Ordnungen enthaltenden Function U, wenn man annimmt, daß
x und j respective in x-j-dx und y + dy übergehen, und dx,
dy als beliebige Functionen, die eine von x und die andere von
y, ansieht. Beschränkt man sich auf diejenigen Glieder, in
welchen die Variationen den ersten Grad nicht übersteigen, so
kommt die Operation darauf zurück, die Function U durch das
gewöhnliche Verfahren, sowohl in Bezug auf x und y als auf
ihre als unterschiedene Veränderlichen angesehenen Differentiale
zu differentiiren, allein mit der Rücksicht, die letzte Differentia
tion durch d anzudeuten. In der That ist es einleuchtend, daß
unter dieser Annahme die Differentiale von
x, y, dx, dy, je.
dx, dy, ddx, ddy, rc.
i sind. Wenn also das gewöhnliche Differential von 17
du == Md x 4- m 2 x -f Pd*x + q d* x +zc.
-j- mdy-j-nd 2 y -|-pd 3 y qd 4 j -s- rc.
ist, so wird es hinreichen, hierin das letzte d in d zu verwandeln,
wodurch erfolgt:
dU === Mdx -|- Nddx -)- Pdd 2 x -s- Qdd 3 x-j- :c.
-|-mdy-|-nddy-j-pdd 2 y-j-qdd 3 y-]-2C.
Wenn U unter der Form Vdx vorkommt, so daß V als
dann nur
dy dp
*' 7' 5=i'E = ’' K r
enthält, so wird man haben:
dV — Mdx-^-IVdy-l-Pdp-l-(^dg-j-Iddr-s-rc.,
und mithin wird die Variation von V seyn:
dV = Mdx -j- Ndy +Pdp + Qdq-f- Kdr —J— zc.,
indem man bemerkt, daß die Größen p, q, r rc., hier, als zwei
unabhängige Veränderlichen x, und y enthaltend, angesehen wer
den müssen, und daß man folglich ihre Variation unter zwei
verschiedenen Annahmen nehmen kann, nämlich indem man nur
eine dieser Größen, oder indem man beide variiren läßt. Ich
werde hier den letzten Gesichtspunkt festhalten, weil dieser, wie
schon gesagt wurde, allgemeiner ist, und weil man hieraus die
dem andern zukommenden Resultate ableiten kann, wenn man
diejenigen Glieder ausläßt, welche sich auf die als constant an
zusehende Veränderliche beziehen. DifferentiirL man mit dem
Zeichen d die Brüche