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Variation einer IniegrahFunckion.
¿7
dxl
dxl
[dr
dx 2
dx
dxddp—dpddx
_ ddp
—-qddx
dx 2
dx
dxddq—dqddx
ddq
— rddx
dx
rc. k. ,
imb mit Hülfe dieser Formeln erhält man die Variation eines
beliebigen Ausdruckes, welcher x, y und ihre Differentiale von
irgendeiner Ordnung enthält.
§. 360.
Handelt es sich um eine Integral-Formel fU, in welcher 17,
wie oben, eine Function von x, y und von ihren Differentialen
ist, so hat man:
d/U=/dU (358.),
und nach 359:
/dU ==/(Mdx -f- Nddx -{- Pdd 2 x 4- Qdd 3 x -f- rc.)
-{-/nidy -j- nddj -J- pd,d 2 y -f- qdd 3 y + rc.)
Dieser Ausdruck läßt noch eine einfachere Form zu: man
muß ihn nämlich so gestalten, daß unter dem Zeichen / kein
Glied zurückbleibt, welches zugleich die eines auf das andere
bezogenen Zeichen d und d enthält; und hierzu gelangt man,
wenn man das Zeichen d dem Zeichen d folgen laßt, und hier
auf, auf die hier unten folgende Weise, durch Theile integrin:
Mdx =/Mdx, - -S
/‘Nddx =/Nddx — Ndx—/INdx,
/Pdd 2 x===/Pd 2 dx==Fddx—/dPddx = Pddx —dPdx -j-/1 2 Pdx,
/^dd 3 x:==/Qd 3 dx==Qd 2 dx—/dQd 2 dx=Qd 2 dx—d Q ddx-f-/<1 2 Q d dx
= Qd 2 dx—dQddx-[-d 2 Qdx—/d 3 Qdx,
rc. rc. ,
Eben so wird man haben:
smdj Z==smdj,
/nddy —/nddy = ndy —/dndy,
/pdd 2 y=ypd 2 dy —pddy—dpdy -|-/d 2 pdy
/qdd ä y ==/qd 3 dy s== qd 2 dy — dqddy + d 2 qdy —/d 3 qdy,
rc.,
Substituirt man, so erfolgt: