Variation einer Integral-Function.
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/dU = (N — dP + d 2 Q—ic.) dx + (?— d Q.+ rc.) ddx
+ (Q—2C.)d. 2 t>x -f- 2C.
_j_ ( n — dp -f- d 2 q —rc.) dy -f-(p— dq + ic.)ddy
-f- (q—rc.) d 2 dy+rc.
-f/(M — dN + d 2 P — d 3 Q -|£ rc.) dx
-]-y*(m — dn -j- d 2 p — d 3 q -|- rc.) dy.
Dieses Resultat besteht aus zwei ähnlichen Theilen, wovon
der eine aus der Variation von x und der andere aus derjeni
gen von y hervorgegangen ist; und es ist leicht einzusehen, daß
man dasselbe auf eine Function einer beliebigen Anzahl von Ver
änderlichen ausdehnen kann, wenn man für jede von diesen ähn
liche Glieder einführt, wie die Veränderliche x oder y sie darge
bracht hat.
§. 361.
Wenn der Ausdruck sü unter die Form /Vdx gebracht
worden, d. h. wenn in V nur die Veränderlichen x, y und Dif
ferential - Coefficienten von y vorkommen, so scheint die Entwicke
lung der Variation zu einer etwas verwickelteren Rechnung zu
führen; allein es ergeben sich merkwürdige Folgerungen. Es ist
zuerst zu bemerken, daß
d/Ydx — /d(Vdx) = /Vddx 4-yUxdV,
/Vddx = Vdx — /dVdx,
und folglich:
d/Vdx —Vdx-|- /(dxdV — dYdx),
Die Größe dxdV—dVdx läßt sich durch die §. 359. angegebe
nen Werthe von dV und dV näher bestimmen, so daß man
erhält:
dxdV—dVdx = N (dxdy—dydx)-j-P (dxdp—dpdx)
+ Q(dxdq — dqdx)-j-2C.;
setzt man hierauf pdx für dy, in demjenigen, womit N multi-
plicirt wird, und den Werth von dp (259.) in demjenigen, wo
mit P multiplicirt wird, so findet man:
dxdy— dydx = dx (dy — pdx)
dxdp — dpdx —ddy — pddx — dpdx==d (dy—pdoc),
woraus folgt:
dxdp-dpÄ-dÄ^läi).
Wenn man y in p und p in q verwandelt, so erhält man eben so:
u. s. f.: macht man also