Integrabilität der Differentiale.
zeichnet man den ersten Coefficienten mit tz-, so wird der zweite
— seyn.
§. 362.
Nicht weniger Aufmerksamkeit verdient eine andere Bemer
kung, daß wenn man in der Entwickelung von 6/U (360.)
M -— dN d 2 P — d 3 Q + K. — o
m —dn-j-d 2 p— d 3 q -s-rc. —o
tyatte, die Variation /617 vom Zeichen s gänzlich befreit seyn
würde; allein diese Gleichungen sind gerade diejenigen, welche
Start finden müssen, damit 17 an sich selbst integrirbar ist. Diese
im §. 280. berührte Behauptung läßt sich a priori beweisen, wenn
man auf das Aufsuchen dieser Bedingungen die Methode der
Variationen anwendet.
Ist nämlich 17 das Differential einer Function 17 u [o hat
man
U —dU,, und folglich
60 = 661/== deJüj,
weßhalb, wenn 17 ein genaues Differential ist, 617 ebenfalls
ein solches seyn muß. Hat man also in dem Ausdrucke von
/60 alle Glieder, welche sich integriren lassen, unter dem Zeichen
/'weggeschafft, so muß der Inbegriff der zurückbleibenden von
selbst Null seyn, ohne daß man irgend eine Relation zwischen
x, y' 6x und 6y anzunehmen nöthig hat.
Da die Entwickelung von 6/Vtbc nur die einzige Bedingung
rc. — o
darbietet, so zeigt sie, daß die auf die Veränderliche x bezügliche
unnütz wird, wenn die Function 17 auf die Form Vdx zurück
geführt ist, wo V nur x, y und' Differential - Coefficienten von
y enthält. *)
§. 363.
Diese Bemerkungen beschränken sich nicht auf den Ausdruck
von /17; sie erstrecken sich ebenfalls auf diejenigen von JsU,
*) Diese Transformation ist nicht immer möglich,
beiden Functionen
dxd 2 y 4. dvd 2 x . dxd 2 y— dyd 2 x
• J * UNd — —
Es seyen ij*. B. die
(Ix 2 dx 2
gegeben; verwandelt man hier dy in pdx und d 2 y in cldx 2 -i-pd 2 x
(131.), so verschwindet d 2 x nur in der zweiten; man kann also nicht
in der ersten y als unmittelbar von x abhängig ansehen (Siehe den
,,Traite etc.“ in 4to. B. I. 0.217).