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Integrabilität der Differentiale. 11 
M_dN+d 2 P —d 3 Q +d 4 R — ic. = o 
m— dn -j- d 3 p — d 3 q -j- d^r —:c. = o 
identisch seyn werden; wenn ^2 alsdann ein Mal, in Bezug 
auf Variationen, integrirt seyn wird, so findet man ü 2 oder 
das zweite Integral der gegebenen Function. 
Es sey z. B. 
U = xd 2 y -j- 2dxdy -f- yd 2 x, 
fv hat man: 
dtl— d 2 ydx-[-2dyddx+ yd 2 dx 0 ' 
d 2 &dy -j~ 2dxddj-J-xd 2 dy, 
M = d 2 y, N = 2dy, P = y, 
m — d 2 x, n — 2(ix, p=x, 
und die Bedingungsgleichungen werden : 
2dj — 2dy =o 
2dx—2dx =2 o 
d 2 j — 2d 2 y -j- d 2 y =i o 
d 2 x — 2d 2 x-j- d 2 x = o : 
folglich ist die gegebene Function unmittelbar integrirbar. Der 
vom Zeichen / befreite Theil y&r-fxdy giebt, wenn man ihn 
in Bezug auf Variationen integrirt, 
ü 2 — sey. 
Der Gang der obigen Rechnungen zeigt, daß die erste Inte 
gration einer Differential-Function von m Veränderlichen m 
Bedingungen erfordert, wenn jene Veränderlichen als unabhängig 
von einander betrachtet werden, und daß für eine Anzahl n von 
aufeinander folgenden Integrationen am Bedingungsgleichungen 
Statt finden muffen. Man würde dieser nur m — 1 für die 
erste und nfm-—1) für alle Integrationen zusammen nöthig ha 
ben, wenn die gegebene Function auf die Form / u Vdx u gebracht 
wäre, in welcher V nur Differential-Koefficienten enthält.