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Von den Maximis und Minnnis der unbestimmten
Integral-Formeln.
tz. 364.
Man kann Ausdrücke wie
yydx, sV~dx 2 + ciy 2
unbestimmte Integrale nennen, wenn der Function y
keine bestimmte Form zugewiesen ist; allein, um eines Maximums
oder Minimums fähig zu werden, müssen diese Integrale be
stimmt (begrenzt) (229.) seyn, weil sie nur zwischen gegebenen
Grenzen einen festen Werth haben werden, wenn y in x be
stimmt seyn wird.
Die im §. 155. vorgetragenen Lehren, in Rücksicht auf Func
tion, deren Form gegeben ist, lassen sich auch, mit Hülfe der
Variations-Rechnung auf die unbestimmten Integrale anwenden.
Denn nach dem im §. 45. vorgezeichneten Gange kann das
Resultat der Substitution von
x-j-dx, y-s-dy, dx-j-däx, dy-j-däy, rc.,
für X, y, cbc, dy,
in einer beliebigen Function u von diesen Größen, nach den
Potenzen der Variationen
dx, dy, ddx, ddy, rc.
geordnet werden, und du wird alle diejenigen Glieder dieser Ent
wickelung enthalten, in welchen die Variationen den ersten Grad
nicht übersteigen. Da diese Glieder zu gleicher Zeit mit den
Variationen ihre Vorzeichen ändern, so müssen sie, nach der
oben in's Gedächtniß gerufene Theorie, bei einem Maximum
oder Minimum, welches auch die Variationen dx und dy seyn
mögen, verschwinden: mithin muß seyn:
du — o.
Wenn
«==/?,
so erfolgt, nach §. 358., du—/dkl; bei einem Maximum oder
Minimum von /ü, hat man also
„/dü=o“,
*) Es möchte zu wünschen seyn, daß, als Vorbereitung zum Folgenden,
zunächst die Maxima und Minima von Differential-Formeln, welche
frei vom Integral-Zeichen find, hier behandelt worden waren.