Maxima und Minima. 
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.krummen Linien angehören, keine Variation erleiden. Wenn 
man also x und y in x' und j und hierauf in x" und y" ver 
wandelt, so muß man machen: 
dx — o ; 6/ — o , 6x" — o, 6y" — o. 
Die mit diesen Variationen behafteten Glieder werden alsdann 
von selbst in der Gleichnng <p" — cp' = o verschwinden, welche 
demnach bestätigt seyn wird, wenn sie nur solche Glieder ent 
hält; und die aus der Gleichung % = o hergeleitete krumme Linie 
wird die Aufgabe vollständig lösen, wofern man sie nur durch 
die beiden gegebenen Punkte hindurchgehen läßt, welches sich im 
allgemeinen durch die Bestimmung der willkürlichen Constanten 
bewerkstelligen läßt, welche im Integrale der erwähnten Glei 
chung vorkommen, die alsdann von der zweiten Ordnung ist. 
Wenn die Gleichung cp" — cp' = o außerdem mit 66x', 66/, 
66x", 66y" behaftete Glieder enthält, und, außer der vorherge 
henden Bedingung, die Tangenten der gesuchten krummen Linie 
bei den Grenzen des Integrals eine gegebene Neigung haben 
müssen, so verschwinden jene Glieder auch von selbst, weil, in 
sofern die Differentiale 6x und 6y bei jenen Grenzen alsdann 
keine Veränderung erleiden, die Variationen 66x', 66/, 66x", 
66y" Null werden, und lassen also auch diejenigen Glieder ver 
schwinden, in welchen sie vorkommen. Allein, um die gesuchte 
krumme Linie dieser Bedingung in Rücksicht auf ihre Tangenten 
in ihren äußersten Punkten zu unterwerfen, muß ihre Gleichung 
zwei willkürliche Constanten mehr enthalten, als in dem vorher 
untersuchten Falle,und mithin muß die Differentialgleichung/ — o 
von der vierten Ordnung seyn. Dieses mag hinreichen, um zu 
zeigen, wie die Gleichung cp" — /—c> bestätigt werden muß, 
wenn die Coordinaten der Grenzen und ihre Differential- Coefsi- 
cienten feste Werthe haben. Ich gehe nun zu den Fällen über, 
wenn die Grenzen als veränderlich angesehen werden sollen. 
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§. 367. 
Man kann verlangen, daß die, mit dem Maximum oder 
Minimum in Bezug auf die fragliche Eigenschaft versehene, krum 
me Linie nicht unter denjenigen krummen Linien, welche durch 
zwei gegebene Punkte gehen, sondern unter denjenigen gewählt 
werde, welche zwischen zwei gegebenen krummen Linien AA' 
und BB' (Fig. 61.) gezogen seyn sollen, ohne daß die Punkte Mg. ni, 
bestimmt seyen, in welchen die letzteren krummen Linien durch 
die gesuchte Linie geschnitten werden. Es ist ersichtlich, daß 
wenn man alsdann von der krummen Linie AB zu einer an 
dern AB' übergeht, die Endpunkte A und B sich bewegen; 
die Abscissen, welche dem Anfange und Ende des Integrals ent- 
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