Maxiina unb Minima. 
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Lacroix Variat. 
A'dx -fB '3j + A"dx" +B ”df' 
+ A' t ddx'+B' , dös -f A" , ddx" -f-B'4 ddy" -f rc. 
Allein da die Variationen öx, Sy', dx", dy" von den unbe 
stimmten Coordinaten x und y unabhängig sind, so bekommen sie 
außerhalb das Zeichen /, während die Functionen A', A", rc. 
A'j, A" t , rc. demselben unterworfen bleiben. Man hat demnach 
in den ersten Theil der Variation /dU die Glieder 
d x '/A' + dy'/B' + dx'/A" + dy'/B" 
+ dÖx'sA' 1 + döy/B' 1 + döx"sA" i + dÖy’fB\ +k. 
einzuführen, indem man nicht unterläßt, diese Integrale zwischen 
denselben Grenzen zu nehmen, welche beim gegebenen Integrale 
vorgeschrieben sind. 
Man sieht nicht sogleich ein, wozu die vorhergehenden Glie 
der werden, wenn eine der Grenzen zugleich Anfangspunkt der 
Coordinaten wird. Man vermeidet diese Schwierigkeit, wenn 
man zuerst 
X — X — x', y = Y — y' 
macht und den Anfangspunkt der Coordinaten X, Y als fest, die 
Größen x', y' aber als veränderlich ansieht; es erfolgt alsdann 
öx=ÖX — öx, öy=öY — Öy\ 
Was die Differentiale dx, dy rc. anbelangt, so hangen diese 
nicht von den Größen x' und j ab, und nehmen mithin keine 
Variation an: der Ausdruck von dll wird also nur 
M(dX — dx')-f NddX-Hc. 
-f- m(dY — dy')-[~nddy —j— 2C. 
Es ist erlaubt, hierauf x', j gleich Null zu machen, wofern man 
die Variationen dx', dy' bestehen läßt, welche als der erste Grad 
ihrer Größe angesehen werden können.. Alsdann werden X und 
Y wiederum x und y, und die Aenderung des Ausdrucks von 
sö\J reducirt sich auf die Glieder — öxsM — dy'/m, deren In 
tegrale zwischen den ursprünglichen Grenzen zu nehmen sind. 
§. 369. 
Es sey die Aufgabe gestellt, y so in x zu bestimmen, daß das 
zwischen zwei gegebenen Grenzen genommene Integral 
s]T dx 2 + dy a 
zu einem Minimum werde, oder was dasselbe ist, die kürzeste 
Linie, die man in einer Ebene zwischen zwei gege 
benen Punkten ziehen könne, aufzufinden. 
Mat hat hier 
<m=an&pr= 
1/ dx-j- dy 2