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Beispiele über Maxima und Minima. 
dingungen des absoluten Maximums des gegebenen Integrals 
unmittelbar in Bezug auf jene Größen; und er gelangte zu der 
selben Gleichung p" — cp'— o, welche die Variations-Rechnung 
darbrachte. *) 
§. 370. 
Wird die Aufgabe des vorigen §. auf den Raum bezogen, 
so sind - und y als Functionen von x in dem Integrale 
./y"dx 2 + dy 2 -j-dz 2 
zu bestimmen. 
Macht man ^dx 2 -j-dy 2 -t-dz 2 -^: ¿8, so hat man hier: 
"dx , * . /"dj , „ . dz 
y3^dx 2 -{-(lj a 4 - clz 2 =^ ~ ddx +^—■ ddy -j- ddz = 
/(- 
& &+a5l^+a5?*)- 
ds ds J ds 
Der vom Zeichen s befreite Theil liefert die drei Gleichungen 
dz 
, dx , dy 
d S =0 ' d dT 
°' d ds — °' 
deren sämmtliche Verbindungen zwei zu zwei darin übereinstimmen, 
dz dz 
—- = const., —“const. 
dx dy 
darzubringen, weßhalb die gesuchte Linie eine Gerade ist. 
Wenn diese Gerade zwischen einem festen Punkte und einer 
krummen Oberfläche gezogen werden soll, deren Differential 
gleichung 
dz — pdx-J- qdy 
seyn soll, so muß bei der letzten Grenze 
dz"= P "dx"4-c 1 "dy" 
seyn. Da die erste eine feste ist, so macht sie rp’=0, und der 
Werth von dz" verwandelt p" — 0 in 
(dx"+ p"dz") dx" + (dy"+ q"dz") dy" = o; 
setzt man die Coefficienten der von einander unabhängigen Varia 
tionen gleich Null, so erfolgt 
dx" + p"dz" = o, dy"+q"dzz=o, 
woraus man vermittelst §. 150. ersieht, daß die gesuchte Gerade 
auf der gegebenen Oberfläche senkrecht ist. 
Wenn jene kürzeste Linie ihrer ganzen Ausdehnung nach in 
einer gegebenen Oberfläche liegen muß, so müssen die unter dem 
*y Siehe den „Traiie eie.“ in 4to. B, II. S. 742,