Beispiele über Maxima und Minima. til 
Zeichen /befindlichen Variationen dx, dy, dz der Differential- 
Gleichung dieser Oberfläche genügen, welche ich durch 
dz =*= pdx -f- qdy 
darstellen will: man macht also 
dz — pdx-f-qdj, 
wodurch sdü übergeht in 
'dx . dz\ c . /dy . dz> 
(f.+4:)'»+:ffi+<3* 
-/{(•■ £+ pd s) + {* iu +a ^) M ■ 
Aus dem mit s behafteten Theile zieht man die Gleichungen 
, dx .dz , dy , .. dz 
d di+i ,d d s = 0 ' d jr + i d d;= 0 ' 
deren eine einzige, in Verbindung mit derjenigen der gegebenen 
Oberflache hinreichend ist (361), die Natur der krümmsten Linie 
zu bestimmen, welche auf jener Oberflache zwischen zwei Punk 
ten gezogen werden kann. 
Nimmt man an, daß die fragliche Linie zwischen einem festen 
Punkte und einer auf derselben Oberfläche befindlichen krummen 
Linie zu ziehen sey, so hat man zuerst r/>' = o; und bezeichnet 
man die Differentialgleichung der Projection der gegebenen krum 
men Linie auf die Ebene der x, y durch 
dy = iulx, 
so erfolgt 6y" —ndx"; 
und da hierauf die Gleichung (p” — o in 
dx" + p"dz" -f- (dy" + q"dz") n" = o 
übergeht, so giebt dieselbe kund, daß die fraglichen krummen Li 
nien einander unter rechten Winkeln schneiden. 
tz. 371. 
Ich will noch diejenige Beziehung zwischen x und y aufsu 
chen, welche das Integral 
/ lT dx 2 + dy a 
in welchem Y eine Function der auf die Grenzen bezüglichen Coor- 
dinaten x', y' und x", y" vorstellen soll, zu einem Minimum zu 
machen geeignet ist. *) 
*) Diese Aufgabe ist die von der Brachystochrone d. i. von der 
jenigen krummen Linie, durch welche ein Körper von einem Punkte 
zu einem andern in der möglich kürzesten Zeit hinuntersteigt.