Zeichen und Grundlehren der Differenzen,R. 31 
§. 378. 
Man kann auch die Differenz von einer beliebigen Ordnung 
durch die Glieder der ursprünglichen Reihe, welche zur Bildung 
jener Differenz in Anspruch genommen wurden, unmittelbar aus 
drücken. 
Da man zuerst hat 
du = u t — u und d 2 u = du l —du, 
so wird man bemerken, daß du x eben so mit u t und « 2 wird 
zusammenhangen müssen, wie du mit u und u t zusammenhangt, 
d. h. daß es hinreichend ist, die Stellenzeiger um i zu vermeh 
ren, um zu 
du J = U 2 - Uj 
überzugehen; und man erhalt demnach 
d 2 u = u 2 — u, —(u j — u) 
= U 2 — 2u, +u; 
vermehrt man hierauf die Stellenzeiger um 1 in diesem letzten 
Resultate, so erfolgt: 
d 3 u = d 2 u t —d 2 u = u 3 —2u 2 -}-u 1 
— (u 2 —2u t +u) 
=u 3 —3u 2 -J-SUj — u, 
und nach der Analogie: 
welches Gesetz sich leicht durch die Entwickelung der Gleichung 
d ll + 1 u~d n u l —d n u 
bewähren läßt. 
Das letzte Resultat und dasjenige des vorhergehenden §. fal 
len zusammen mit: 
U n = (1 -|- du) n und d n u=r(u—1)n, 
wofern man bei der ersten Entwickelung die Exponenten der Po 
tenzen von du in Exponenten des Kennzeichens d und bei der 
zweiten die Exponenten von u in Stellenzeiger verwandelt. Man 
kann sogar sogleich 
U» — (l+^/) n u 
aufstellen, wo bei der Entwickelung gar nichts zu ändern seyn wird. 
§. 379. 
Wenn eine Function gegeben ist, so ist nichts leichter als deren 
aufeinander folgende Differenzen zu finden. Es diene zum Bei 
spiele die Function 
x m .