Macht man u=x ln , und nimmt an, daß x um die Größe h 
zunimmt, so erhält man u, =(x-f h) 1 « und folglich: 
Um zu den höheren Differenzen A z u, A 3 u rc. überzugeben, 
muß man x von neuem variiren lassen, was zwei Annahmen 
gestattet. Die eine besteht darin, die Größe x um immer gleiche 
Zuwachse zunehmen zu lassen, die andere, diese Zuwachse selbst 
veränderlich zu lassen; ich werde mich hier nur mit der ersten be 
schäftigen. Substituirt man in An für x, x-j-h, so erhält man: 
Au j =m (x-j-h) -j 
in ( m ■—l) 
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(x-j-b) m ~ 2 h 2 -j- :c. 
Es leuchtet ein, daß, wenn man den Ausdruck von An l ent 
wickelt und denjenigen von An abzieht, das nach Potenzen von 
h geordnete Resultat die Form: 
A 2 n — m(m—1) x m ~~ 2 h 2 ^- MjX" 1 '“ 3 h 3 -j-M 4 x nl— 4 h 4 -j- rc. 
haben wird, wo M 3 , M 4 rc. von dem Exponenten m abhängige 
Koefficienten bedeuten. 
Durch eine neue Substitution von x+h in dieser letzten 
Gleichung gelangt man und bemerkt man, daß A 3 n 
= A 2 u l —A 2 n, so findet man: 
A 3 n = m(m—l) (m—2) x m— 3 b 3 -J- M' 4 x m— 4 h 4 -j-rc. 
Das Gesetz der ersten Glieder in jeder der gefundenen Ent 
wickelungen ist einleuchtend, und man sieht, daß der Ausdruck 
von A n u mit 
m(m — 1) (m —- 2) . . . (m — n -j- 1) x m—n h n 
beginnen muß. Man sieht auch, daß wenn der Exponent m 
ganz und positiv ist, die Anzahl der Glieder der nach den Po 
tenzen von x geordneten Entwickelung von A n u um die Einheit 
abnehmen muß, wenn n um diese Größe zunimmt, und daß, 
wenn n — m, erfolge: 
A m n = m(m—1) (m — 2) . . . lh m . 
Da diese Differenz constant ist, so sind die höheren Diffe 
renzen nothwendig Null. 
Man gelangt leicht zum allgemeinen Gliede von A n u, wenn 
man (nach §. 378.) den Ausdruck dieser Differenz vermittelst der 
Werthe von u, u„ u 2 , u 3 rc. bildet, ohne durch diejenigen von 
An, A 2 u , A 3 n rc. hindurchzugehen. Cs ist klar, daß bei der 
gegenwärtigen Annahme die Werthe