Bew. d. Tay!. Lehrs. durch die Differenzen. 47 
u« der Werth von u seyn, welcher x—x-s-Ntt entspricht; macht 
man hierauf na=h, so erhält man n = - und: 
was man auf folgende Art darstellen kann: 
Nimmt man fetzt an, daß a beständig abnimmt, während h 
unveränderlich bleibt, was darauf hinausläuft, die Zahl n be 
ständig zunehmen zu lasten: so strebt die zweite Seite der letzten 
Gleichung nach einer Grenze hin, welche man dadurch erhält, 
daß man a=o macht. Bemerkt man fetzt, daß die Verhältnisse 
/ln ¿/ 2 u ^/ 3 u 
alsdann die Differential - Coefficientm 
du d 2 u d 3 u 
dx' dx 2 * dx 31 
zu ihren respectiven Grenzen haben, so erhält man wiederum 
du h . 
u «4- -f— —— —- 
~ dx 1 * dx 2 X . 
zur Entwickelung der Function u, wenn x ju x + h geworden ist. 
Auf diese Weise ungefähr ist Taylor zu vorstehendem Lehrsätze 
gelangt, welcher seinen Namen führt. 
Wenn man einmal bis hierhin gekommen ist, so bietet die 
analytische Theorie der Differential-Rechnung keine Schwierigkeit 
mehr dar. Das Vorstehende reicht also hin, zu zeigen, wie die 
Differential-Rechnung aus der Differenzen-Rechnung hervorge 
hen kann. 
§.390. 
Mit Hülfe des Taylorschen Lehrsatzes läßt sich die Entwicke 
lung der Differenzen von beliebiger Ordnung für eine beliebige 
Function ohne Schwierigkeit erhalten. 
Zuerst hat man