54 Erklärung und Bezeichnung d. inversen Differenzen-Rechn. 
— f(x) 
hat, wobei der Zuwachs von x conftant und gegeben ist: ich 
werde denselben in der Regel durch h bezeichnen. 
Es sey zuerst und demnach 
z/u x = f(x). 
Um die Operation anzudeuten, welche die Rückkehr von Ju* zu 
«x bezeichnen soll, so bedient man sich des Kennzeichens und 
schreibt demnach: 
s u x = ui = 2 £ (x)", 
so daß J und S entgegengesetzte Operationen anzeigen, welche 
einander aufheben, wenn sie eine nach der andern bei dersel 
ben Function angebracht werden. 
Die durch das Zeichen 2 angezeigte Operation heißt auch 
Integration; denn^k(x) bezeichnet eine wirkliche Summe. In 
der Lhat, summirt man die Gleichungen (1) des §. 375, so 
erfolgt: 
U n =U-f- ¿/u-j- Ju t -]-¿/u 2 ; 
und bezeichnet man den ersten Werth von X durch a und den 
darauf bezüglichen Werth von u s durch u, so erhalt man für 
einen beliebigen Werth x — a-f-nh, 
2£(x) =: u-j-£(a) -j- f(a-j-h) f(a-|-2h) 
f [ä (ri— 
Dieser Ausdruck, welcher um k(a-s-nll) oder um 5(x) zunimmt, 
wenn man zu dem letzten Werthe, welcher x beigelegt wurde, 
h hinzufügt, und welcher also f(x) zur Differenz hat, besteht 
also aus der Summe aller Werthe, welche £(x) von x = a ein 
schließlich bis zu x—a + (n—i)h annimmt, und überdies aus 
* dem ersten Werthe von u, welcher unbestimmt ist, und welcher 
hier die Stelle der willkührlichen Constante einnimmt, die beim 
Üebergange von u x zu ¿/u x verschwinden konnte. 
Um von 
¿/ r u x = f(x) 
zu zurückzukehren, sieht man klar ein, daß so viele Integra 
tionen nöthig sind, als Differentiationen Stattfanden, was man 
auf folgende Art anzeigen möchte: 
ggS'J* u x = u x = ^f(x)^. 
Bei jeder dieser Operationen muß man eine neue Constante hin 
zufügen , was man auch aus der Bemerkung entnehmen kann, 
daß die Gleichung J r u x =£(x), welche die Differenzen der 
Function erst von der rten Ordnung an giebt, die r Größen 
u, Jn f /J 2 \x ¿¡ X ~~ x \x 
und folglich die r ersten Glieder des Ausdrucks