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Anwendung der Integral-Rechnung auf die Theorie der 
Reihen. 
§. 423. 
Da die Integration der Differentiale mit einer einzigen Ver 
änderlichen zu Reihen führte, so schloß man hieraus, daß man 
eine Reihe durch ein Integral ausdrücken könne; und da man 
Methoden hat, um wenigstens näherungsweise den Werth eines 
Integrals zwischen gegebenen Grenzen *) zu berechnen, so hat 
man gesucht von einer gegebenen Reihe zu dem Integrale zu 
rückzusteigen, wovon sie eine Entwickelung war. Durch diese 
Betrachtungen hat Euler für die Summation der Reihen und 
die Bestimmung des allgemeinen Gliedes derselben sehr sinnreiche 
Methoden geschaffen, wovon hier einige Beispiele folgen mögen. 
Es sey zuerst die Reihe 
a±l , 2« ±ß 
a + b ^2a-]-b 
na-^-ß 
rll _J_ 2C. 
na -}- b 
gegeben. Multiplicirt man die beiden Seiten der Gleichung 
,^<*+/3 . 2g+/? , n«±ß 
a-J-b 2a-|-b ' na-j-b 
mit px* und geht hierauf zu den Differentialen über, so erhalt 
man: 
p d( s * 0= EÌi±iHii±£i!Ì2 . . . . 
na-j-b 
j p (n-j-r) (na -}-• ß) x n + r—1 dx 
na -j-b 
Der Factor na-}-b wird aus dem Nenner des allgemeinen Glie 
des verschwinden und mithin auch aus allen andern, wenn man 
für ein beliebiges n 
p (n -f- r) = na -{- b 
angedeutete, hierauf von Laplacc, Paoli und Poisson bearbeitete, 
Rechnung mit gemischten Differenzen geometrischen Ausgaben entspricht, 
welche früher von Euler aufgelöst worden, und daß sich in der neusten 
Zeit H. Babbage mit diesen Aufgaben und denjenigen, welche im 
vorhergehenden $. ausgesprochen sind, beschäftigt hat; er betrachtet 
dieselben als einen neuen Zweig der Analyse begründend, den er die 
Functionen-Rechnung nennt. (Siche die philos. trans. Jahre 
1815 — 16 — 17). 
*) Siehe die Rote S. 66.