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Selbstverständlich kann dies Resultat nicht auf absolute Genauig 
keit Anspruch erheben. Man hat Grund zu der Annahme, daß die 
Höhe der Atmosphäre wohl noch eine Meile mehr beträgt. 
Das Jahresminimum der Dämmerung. 
Aufgabe. 
Gegeben die geographische Breite cp. 
Gesucht der Wert der Deklination Z, für welchen die Däm 
merungsdauer t ein Minimum wird. 
Auflösung. 
Die ausführliche Behandlung dieser in der Geschichte der Astro 
nomie («koli. Bernoulli, d’Alembert, Fuss, d’Arrest u. v. A. haben 
sich eingehend mit ihr beschäftigt) berühmten Aufgabe liegt außerhalb 
der Grenzen dieses Elementarbuchs. Es sei hier nur Folgendes bemerkt. 
Am ungezwungensten, wenn auch nicht gerade am einfachsten, 
dürfte sich die Lösung im direkten Anschlüsse an die Hauptgleichung 
(I) ergeben. Betrachtet man nämlich die Dämmerungsdauer t als 
Funktion der Deklination Z, dann folgt durch Disferentierung jener 
Gleichung leicht als Bedingung des Minimums: 
M. d y -j- {2 sin 8 cos 8 [2 sin 2 cp[l — cos t) + sin 2 1 cos 2 <p] 
-j- 2 cos 8 sin 18° sin <p (1 — cos t)}. dZ — o , oder 
sin 3 [2sin 2 cp + (1 -f cos t) cos 2 cp] + sin 18° sin 9 
M 
d x 
TS 
sin <5 [2 sin 2 <p -(- (1 —|— cost) cos 2 cp] -f- sin 18° sincp — 0 
0, d. h. 
cost 
sin 18° sin 9 + sin 3 (1 + sin 2 9) 
sin 3 cos 2 9 
(m) 
Durch Einführung dieses Werts in die Gleichung (I) erhält 
man die Bestimmungsgleichung für 8. Dieselbe wird erfüllt durch 
sin 3 — —sin^.tgQ 0 und 
sin 8 = — sin cp. tg 81°. 
Nach Berechnung von 8 folgt die kürzeste Dämmerungsdauer 
selbst aus Gleichung (m). Daß die gefundenen Werte von 8 wirk 
lich einem Minimum (nicht einem Maximum) entsprechen, erkennt 
man leicht — wofern man nicht zu den zweiten Disferentialquotienten 
übergehen will — aus der Natur der Sache und durch Diskussion 
der Gleichung (I).