Zur Herstellung solcher ausgeglichener Beobachtungen hat man 
nun nach Gauß folgenden Weg einzuschlagen: 
„Man bestimme, um bei unserem obigen Beispiele stehen 
zu bleiben, die Elemente a, b, c derart, daß, wenn man mit 
ihrer Hilfe für die gegebenen x die zugehörigen Werte von y 
berechnet, diese berechneten Werte sich von den beobachteten 
um Größen 
f lr f 2 , f 3 u. s. f. 
unterscheiden, deren Quadratsnmme ein Minimum ist." 
Es läßt sich nicht leugnen, daß der Begründung dieses Princips 
in gewisser Beziehung etwas Willkürliches anhaftet, was Gauß selbst 
mit den Worten ausspricht: Quod si quis hanc rationem pro ar 
bitrio, nulla cogente necessitate, electam esse objiciat, lubenter 
assentiemur. Quippe quaestio haec per rei naturam aliquid vagi 
implicat, quod limitibus circumscribi nisi per principium ali 
quatenus arbitrarium nequit. — Indessen erweist sich dasselbe unter 
allen Annahmen, die man machen konnte, doch als die einfachste und 
naturgemäßeste. Die folgenden Betrachtungen werden dies bestätigen. 
Die verschiedenen Arten der auszugleichenden 
Beobachtungen. 
Bei den Anwendungen der Methode der kleinsten Quadrate handelt 
es sich entweder 
1. um die Ausgleichung d i r e k t e r B e o b a ch t u n g e n, bei denen 
die Beobachtungsgröße unmittelbar die gesuchte Größe selbst 
ist (Beispiel: Die Bestimmung der Meridianhöhe eines 
Fixsterns aus wiederholten Messungen dieser Höhe), oder 
2. um die Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen, 
bei denen die gesuchten, voneinander unabhängigen Größen 
mittelbar, durch beliebig angenommene, oder sonst irgendwie 
erhaltene Gleichungen aus den unmittelbar gemessenen Größen 
gefunden werden (Beispiel: Die obige Bestimmung der 
Größen a, b, c aus den gemessenen y mittels der Gleichung: 
y = a -f- bx cx 2 ), oder