164 
~ = 2 (h — hj + 2 (h — h 2 ) + ....+ 2 (h — h 5 ) = 0^ 
^ t __ h t + hg + h 3 + h 4 4~ h s 
setzt. In unserem Beispiele ergießt sich h = 50° 57, 32", 3. 
Wir haben also hier das merkwürdige Resultat, daß die Be 
rechnung einer Beobachtungsgröße nach dem Grundsätze des arith 
metischen Mittels zusammenfällt mit der Berechnung dieser Größe nach 
der Methode der kleinsten Quadrate. 
Begründung der Methode. 
Eine allgemeine Entwickelung der Methode läßt sich ohne Zu 
ziehung höherer Rechnung nicht wohl erreichen. Wir müssen uns des 
halb — um den elementaren Standpunkt nicht zu verlassen — darauf 
beschränken, ihre innere Berechtigung durch ein mehr induktives Ver 
fahren nachzuweisen. Folgende Erwägungen werden zu diesem Zwecke 
hinreichen: 
1. Es handelt sich bei der Ausgleichung der Beobachtungsfehler 
wesentlich darum, den wirklichen Beobachtungen andere, wider 
spruchsfreie zu substituieren, die sich (aus dem früher an 
gegebenen Grunde) den wirklichen Beobachtungen möglichst eng 
anschließen. Wollte man dies Ziel nun etwa dadurch erreichen, 
daß man die Summe der Differenzen der Glieder beider Reihen 
(also die Summe der Fehler, nicht der Fehlerqnadrate) zu 
einem Minimum werden ließe, dann liefe man Gefahr, eine 
Substitutionsreihe zu erhalten, deren einzelne Glieder von 
denen der gegebenen Reihe unter Umständen sehr stark diffe 
rierten. Denn infolge der Verschiedenheit der Vorzeichen der 
Fehler könnten die einzelnen Fehler relativ recht bedeutend sein 
und gleichwohl ihre Summe sehr klein. Dächte man aber 
daran, diesem Übelstande dadurch zu begegnen, daß man von 
den Vorzeichen ganz absähe, dann würde man sich mit der 
Natur der irregulären Beobachtungsfehler in Widerspruch 
setzen, deren Eigentümlichkeit gerade darin besteht, bald positiv, 
bald negativ zu sein. Am einfachsten entgeht man dieser 
Schwierigkeit dadurch, daß man die Summe der Fehler-