Es wird aber bei diesen Bestimmungen nicht eigentlich der mittlere 
Fehler gesucht in Bezug ans die ausgeglichenen Beobachtungen, welche 
nur die wahrscheinlichsten Werte der Beobachtungsgrößen darstellen, 
sondern man will den mittleren Fehler in Bezug auf die 
wahren Werte dieser Beobachtnngsgrößen wissen, und 
diesen Fehler nennt man im eigentlichen Sinne des Worts den mitt 
leren Fehler. Derselbe wird durch die Gleichung bestimmt: 
vorausgesetzt, daß die Anzahl der zu bestimmenden Konstanten — a. 
Wie man sieht, fallen die mittleren Fehler f 0 und q 0 desto mehr 
zusammen, je größer die Anzahl der Beobachtungen. Absolute Gleich 
heit findet erst bei einer unendlich großen Zahl von Beobachtungen statt. 
Der mittlere Fehler f 0 ist eine durch Rechnung genau bestimmbare 
Größe; der mittlere Fehler cp 0 hingegen, der sich auf die wahren 
Werte der Beobachtnngsgrößen bezieht, kann selbstverständlich nur ein 
Gegenstand der Schätzung sein, lediglich sein wahrscheinlichster 
Wert läßt sich ermitteln. 
Der mittlere Fehler dient dazu, die Genauigkeit einer Beobachtungs- 
reihe, ihr „Gewicht", zu prüfen. Je kleiner der mittlere Fehler, desto 
größer ist die Genauigkeit, das Gewicht der Beobachtungsreihe. All 
gemein besteht zwischen den mittleren Fehlern cp 0 ‘ und <p 0 " sowie den 
Gewichtszahlen g' und g" zweier Reihen die Gleichung: 
Hat man beispielsweise aus mehreren Bersuchsreihen dieselbe Größe 
bestimmt und dann, der Regel nach, etwas verschiedene Werte derselben 
erhalten, so kann man aus diesen Einzelbestimmungen unter Be 
rücksichtigung der Gewichte der Versuchsreihen (indem man eins derselben 
zur Einheit nimmt) nach derselben Methode einen neuen, verbesserten 
Mittelwert ableiten. 
Neben dem mittleren Fehler der Beobachtungen kommt insbesondere 
noch der wahrscheinliche Fehler derselben in Betracht, d. h. der 
Fehler, dessen Eintreffen die Wahrscheinlichkeit j hat, der demnach 
ebenso leicht überschritten als nicht erreicht wird. 
Die vollständige Theorie der mittleren und wahrscheinlichen Fehler