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Also durch Quadrieren und Äddieren: 
2Ao 2 =2f 2 + 2AM2f+n(AM) ä 
=-f 2 +n(AM) 8 (nach Axiom). 
= + (nach IV). 
Mithin nach (II): n<p! = .£f 2 -f cpl , oder schließlich: 
<f'=±y~Ai=±t*]/ÄiV). 
Die Gleichung (V) zeigt den zwischen f 0 und rp 0 bestehenden Zu 
sammenhang. 
Im vorliegenden Falle ist nur eine einzige Größe zu bestimmen. 
Beträgt die Anzahl der empirisch zu ermittelnden Konstanten a, dann 
geht die Gleichung (V) in die bereits erwähnte allgemeine Form über: 
Wird (IV) mit (V) kombiniert, dann lauten die beiden Fundamental 
gleichungen für die Fehler der Methode des arithmetischen Mittels: 
1. AM = +f. j/Ar 
2. f„ = ± f, |/-^ 
Bezüglich des wahrscheinlichen Fehlers w, in der oben 
angegebenen Bedeutung, ist zu bemerken, daß derselbe mit dem mittleren 
Fehler durch die Gleichung 
w — 0,6745 rp 0 
verknüpft ist, so daß beim arithmetischen Mittel 
3. ± 0,6745 f. 
Die mitgeteilte konstante Relation zwischen w und cp 0 kann (außer 
durch höhere Rechnung) auf empirischem Wege, wenigstens annähernd 
gewonnen werden, indem man eine Bersuchsreihe nimmt, die aus zahl 
reichen und durch möglichst kleine Intervalle getrennten Beobachtungen 
besteht, sodann die Fehler ihrer absoluten Größe nach ordnet und den 
jenigen sucht, der ebensooft überschritten als nicht erreicht wird. Er 
wird zu dem mittleren Fehler cp 0 , welche Versuchsreihen man auch an 
wendet, stets nahezu in dem Verhältnisse 2 : 3 stehen.