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Vier Werte liefern die Gleichung 
s: 
ip (t) dt 
tt 
f (ti) +■ 3 f (t 2 ) + 3 f (t 3 ) -f- f (t 4 ) 
Mit fünf Werten ergiebt sich: 
t r> — t] 
IxT 
7 f (tj) + 32 f (t 2 ) + 12 f (t 3 ) + 32 f (t 4 ) + 7 f (t 5 ) 
f xJj (t) dt - 
J k 
U. s- f. 
Um die Genauigkeit der vorhergehenden Formeln zu prüfen und 
zugleich die Methode durch ein Beispiel zu erläutern, wollen wir das 
Integral 
s 
dt 
1+t 2 
bestimmen, indem wir annehmen, daß die Funktion 
1 
i+t 2 
für die vier Werte 
tx = 15 t 2 =-g-: t 3 = -g- j t 4 —2 
bekannt sei. In diesem Falle ist die vorletzte der obigen Formeln in 
Anwendung zu bringen und demnach zu setzen: 
dt 
1 
r dt i r i , o i 
1 + t 2 8 [l -M 1 +(f) 2 ^~l+(f) 3 ' 1 + 2 2 J 
— 0,32176 .... 
Berechnet man das obige Integral nach den gewöhnlichen Regeln 
der Analysis, so findet sich: 
dt : arc tg 1 = 0,32175, 
f. 
1 -i-1 2 " » 3 
ein Wert, der von der eben durch mechanische Quadratur erhaltenen 
Bestimmung nur sehr wenig abweicht. 
Es versteht sich übrigens von selbst, daß das empirische Verfahren 
desto genauere Resultate liefert, eine je größere Anzahl von Werten 
der Funktion f(t) zur Verwendung kommt. 
Auch ist einleuchtend, daß die Herstellung vielfacher Inte 
grale keine neuen Regeln, sondern nur eine wiederholte An 
wendung der obigen Vorschriften erfordert.