PREMIÈRE PARTIE , CHAP. VUE 85
siste à rendre le premier membre de l’équation, dont le second
est zéro, une fonction dérivée exacte par le moyen d’un multiplica
teur. On trouvera dans la leçon XIII du Calcul des Fonctions , une
démonstration de l’existence de ce multiplicateur, dans toutes les
équations dérivées ; mais la recherche en est le plus souvent très-
difficile , ce qui rend cette méthode plus curieuse qu’utile.
5a. Quant à !a manière de trouver les fonctions primitives des
fonctions d’une seule variable, comme de Fa? ou dejrT/, on sait
que si IA' est une fonction rationnelle de a?, on peut toujours la
décomposer en différons termes de la forme x m ou 7—-4—— .
L {a -j- bx) m *
m étant un nombre entier positif, et bx un facteur du déno
minateur de la fonction, s'il en a un. Ainsi la fonction primitive
de Fa? sera composée d’autant de termes de la forme —- et
A m~\~ 1
(a -f- bx) l ~ m 1 . 1 ( a + bx) . .,
—-y- , ou Lr si m — — 1 et ——- ■ si m = 1 ; et il en
b (i —m) 7 7 b 7
sera de même de la fonction primitive dej'Fj (art. 5a ).
Si Fa? contient dés quantités irrationnelles, on les fera dispa
raître par des substitutions, ce qui n’est possible en général
par les méthodes connues, que pour les radicaux de la forme
\/{a -\~bx~\~ ex'). Quand il y a dans Fa? des radicaux plus com
pliqués , ou même quand il y a plus d’un radical de cette forme, la
recherche de la fonction primitive devient impossible en général
par les méthodes connues ; et on ne peut l’obtenir que par le moyen
des séries, soit en faisant disparaître les radicaux par leur résolu
tion en série, soit en employant la méthode générale pour le dé
veloppement en série de toute fonction de a? (art. 53). Four cela^
on supposera ï'x = Fa?; de là on aura
f f/ a? = F'a?, f w a? = F"a?, etc.
Donc la valeur de fa?, fonction primitive de Ea?, sera représentée
ainsi,
& = f. + *F. + f F'. F", etc.,