U THÉORIE DES FONCTIONS.
les quantités f., F., F', etc. étant les valeurs de £r, Fx, F'x, etc. ;
lorsque x = o, où Fou voit que f. sera une constante indéterminée.
55. Si, pour une équation proposée d’un ordre quelconque, on
parvient à trouver une équation d’un ordre inférieur qui ne ren
ferme point de constantes arbitraires, ou qui n’en renferme pas
autant qu’il peut y en avoir, alors cette équation ne pourra pas
être regardée comme une équation primitive complète, mais elle
ne sera qu’un cas particulier de cette équation , dans lequel on
aurait donné aux constantes arbitraires des valeurs particulières.
Mais il y a un cas très-étendu, dans lequel il suffit d’avoir plu
sieurs valeurs particulières de y en x pour pouvoir en obtenir la
valeur complète 3 c’est celui où l’équation d’un ordre quelconque
ne renferme les y, y', y", etc. que sous la forme linéaire.
Soit, en effet, proposée l’équation
Ay -f- By -f- Cy'-f- Dy'" -f- etc. = o,
dans laquelle A, B, C, etc. soient des fonctions données de x seul.
Soient /?, q, r, etc. des fonctions différentes de x, qui, étant substi
tuées pour j, satisfassent chacune en particulier à cette équation ?
je dis que l’on aura en général
y tzz. ap -f- bq c/’-f- etc.,
a, Zq c, etc. étant des constantes arbitraires; ce qui est évident;
car cette expression de y étant substituée dans la même équation,
y satisfera indépendamment des constantes. D’où il suit que si
le nombre des valeurs particulières p, <7, etc. est égal à celui
de l’ordre de l’équation proposée , c’est- à-dire à l’indice de la
fonction dérivée y" lelc * la plus élevée , on aura l’expression
complète de y. L’analyse de l’article 44 fournit un exemple de
cette méthode.
Mais il y a plus : on peut alors trouver aussi la valeur com
plète de y, qui satisfera à l’équation
Ay + By' -f- C'y"-h etc. = X,
X étant aussi une fonction quelconc|ue de x.