103 THÉORIE DES FONCTIONS.
mêmes pour une valeur donnée de x, comme xz=z o, que celles
qui résultent de l’équation donnée.
£i l’équation proposée n’était que du premier ordre en x, y,y\
alors cette équation ne pouvant fournir que les valeurs de y', y", etc.
en x et/, ces valeurs, pour ,x = o, contiendraient la valeur in
déterminée de j ; par conséquent les constantes arbitraires dépen
draient alors de cette valeur, qui serait elle-même une constante
arbitraire 5 de sorte que dans ce cas, toutes les constantes arbi
traires se réduiraient à une seule. Elles se réduiraient à deux, par
la même raison, si l’équation proposée était du second ordre en
x, j, y et y" 5 et ainsi de suite.
65. Pour faire mieux sentir l’esprit et l’usage de ces opérations,
nous allons les appliquer encore à quelques exemples qui servi”
vont en même temps d’exercice de calcul.
Soit proposée la série
1 . Tl r . « m Ç m -b 1 . mÇm+i) (m + 2) , , ,
^ 11 ' il ( n -f- 1 ) ' n(n-f- 1 ) (n-j- 2 ) " ' ' * ?
dont on demande la somme.
Supposons-la égale à y, ensorte qu’on ait une équation en x
et j ; je multiplie cette équation par x n ~% ce qui donne
jx n
x
■' n — 1 -I x n -I-
n n ( n 1 )
m C m 4- 1 )
ri- etc.
Je prends les fonctions primes de tous les termes , j’ai
y’x n ~ l Çji — 1 )yx 1l ~ i2
, \ „ „ , , m (m -4- i')
( n — 1 ) -j- mx 1 -j — od‘
m(m+.^(m+Q etc .
n ( n -f- 1 ) 7
où l’on voit qu’il a disparu un facteur du dénominateur de chaque
terme.
Je multiplie maintenant l’équation précédente par x
,m—~n
? ] ÎU