PREMIÈRE PARTIE, CHAP. X. To5 
si donc je forme la quantité 
y -h ( m + nx)y' + {p + qx -h rx % )y' r , 
où m , n, p, q , r sont des coefficiens arbitraires, j’aurai un qua- 
trinôme qui contiendra les puissances x, x* et x 3 , et je pourrai 
faire évanouir les termes multipliés par chacune de ces puissances ; 
j’aurai ainsi une équation du second ordre de la forme 
y + ( m + nx ) y' + (p -f- qx -f- rx 2 ) y" = C, 
où C sera une quantité constante ; et cette équation renfermera 
encore deux coefficiens indéterminés. 
Je pourrai donc encore faire ensorte qu’étant multipliée par 2y\ 
elle ait une équation primitive ; car pour cela, il suffira de faire 
cj -=z2?n 7 rz=:n, et l’équation primitive sera 
jr a -f- {p 4-2mx -f- nx* ) j /a == zCy -f- a, 
a étant une constante arbitraire qu’on déterminera, comme nous 
l’avons dit, en supposant x = o , et mettant pour y et y', leurs 
valeurs tirées de l’équation proposée. Or elle donne dans ce cas , 
j = o, y' = A; donc, faisant ces substitutions dans l’équation pré 
cédente, elle donnera pA*z=a. 
Ainsi on aura cette équation en y, du premier ordre, 
y*-\-{p+ 2mx -f- «x 2 ) y'*=z 2Cy + 
où x ne monte qu’au second degré ; circonstance sans laquelle on 
n’aurait rien gagné pour la détermination de x eny. 
Mais avant d’aller plus loin, il faut satisfaire aux conditions néces 
saires pour que la quantité y-\-(m ~{-nx)y'-{- 2mx-\~ nx % )y'’, 
après la substitution des valeurs de y, y\y n -, devienne égale à une 
constante C. Cette substitution donne la quantité 
Ax -f- Bx® -f- x% + (m + nx ) ( A 4- aBx -f- 3x a ) 
4“ ( p -f- 2772X-f- 72X® ) ( 2B -{- 6x ) J 
développant, ordonnant les termes suivant les puissances de x, 
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