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w au bas 
J, etc. re- 
", etc., on 
+elt. 
PREMIÈRE PARTIE, CHAB. Xll. 12y 
développement de f(x-f~ i, y~h o) , nous avons commencé par 
substituer dans f (x, j/), x-j-i pour x, et nous avons développé 
suivant i, nous avons ensuite substitué dans tous les termes 
de ce développement , y 4* o pour y , et nous avons dé- 
loppé suivant o. Or, il est visible qu’on aurait identiquement le 
même résultat, si on commençait par la substitution de j -f- o 
pour y, et par le développement suivant o , et qu’on fit ensuite 
la substitution de x-f-i pour x , et le développement suivant i. 
De cette manière, on aurait d’abord les fonctions primes, se 
condes, etc. relativement h y, savoir, f'(x,jr) , £ u (x , y), etc. ; 
ensuite on aurait les fonctions primes, secondes , etc. de celles-ci 
relativement à x, qui, suivant la notation que nous venons 
d’établir, seraient représentées par f'(x, y) , f'(x 9 y) 9 etc., 
f (x,y), f '(x,y) 9 etc.j et on obtiendrait ainsi la même for 
mule que ci-dessus, comme cela doit être. Or, dans le premier 
procédé, la fonction f ' (x,y) s’obtient en prenant d’abord la fonction 
prime de f(x 9 y) relativement à x, ce qui donne f'(x,jr), et 
ensuite la fonction prime de celle-ci relativement ¿ijr; et dans le 
second procédé, la même fonction s’obtient en prenant d’abord la 
fonction prime de f ( x ,y) relativement à y, ce qui donne f (x, y) y 
et ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à x. 
D’où il suit qu’il est indifférent dans quel ordre se fasse la 
double opération nécessaire pour passer de la fonction primitive 
f (x, y) à la fonction dérivée f'(x,y)-, et comme on doit 
dire la même chose des autres fonctions marquées par des traits 
placés au haut ou au bas de la caractéristique f, on en peut con 
clure en général que les opérations indiquées par ces traits , 
sont absolument indépendantes entre elles et qu’elles conduisent 
aux mêmes résultats, quclqu’ordre qu’on suive en prenant les 
fonctions primes relativement à x et ky, indiquées par chacun des 
traits supérieurs ou inférieurs. Ainsi, par exemple, on aura éga 
lement la valeur de f''(x,y), en prenant la fonction seconde 
de f ( x, y) relativement ¿i x, et ensuite la fonction prime de 
celle-ci relativement à y, ou en prenant d’abord la fonction prime 
de f (x,y) relativement à y, et ensuite la fonction seconde de 
celle-ci relativement à x, ou bien en prenant la fonction prime