ï 58 THÉORIE DES FONCTIONS. 
nant les fonctions dérivées par rapport à i et o. En effet, soit 
f(x +i,j+o) = f(x,jr) + i'P + oQ. 
En prenant d’abord les fonctions dérivées par rapport à x et/, 
on aura 
f'(tf-f-1, j+o) = f (¿r, j) -HP' + oQ', 
f, (^-f-ôj4-o) = f ; (a?, j) -f-iP/H-oQ/* 
Ensuite si on prend les fonctions dérivées par rapport à i et o, et 
qu’on les désigne par des traits placés au haut et au bas, mais en 
arrière des lettres, on aura aussi 
f ' (æ -f- i, y -f- o ) = P -f- ¿'P -j- o A Q , 
f, 0 + î,/+ o) = Q-+- ¿/P -f- o y Q j 
puisqu’il est évident que les fonctions dérivées de f y-\~o) 
sont les mêmes par rapport à x et et par rapport kj et o. De 
là on aura 
P = f(ar, <r ) + i(F-.'P) + o(Q'—’ [ Q) 
Qz= + i (P— ?) + olQ—,Q). 
Donc si on fait 
R =P / —P ? S=Q'-'Q + P l -,P, T = 0-0, 
on aura, en substituant ces valeurs, 
f(* + ‘ ) / + l >) = f(a:,7) + il'(x, f) + oi i {x,jr) 
—}— z a R “f-* zoS —J— o sr l , 
et l’on pourra de la même manière pousser le développement 
aussi loin qu’on voudra • de sorte qu’en connaissant les expres 
sions analytiques des premiers restes P, Q, on trouvera tous les 
suivans par les simples fonctions dérivées de ces restes. 
8o. Puisque les fonctions dérivées de deux variables se forment 
de la même manière, et par les mêmes règles que celles d’une seule 
variable, en considérant chaque variable séparément et successi 
vement, il s’ensuit que tout ce que nous avons démontré sur les