PREMIÈRE PARTIE, CHAP. XIM 145 
aura encore la même équation du premier ordre par l’élimina 
tion des deux arbitraires a et h, quoiqu’elles ne Soient pas cons 
tantes , pourvu que les deux équations primes soient encore de la 
même forme. 
Désignons simplement par F' [ci) et F' (h) les fonctions primes 
de F z ), prises relativement aux quantités a et h conte 
nues dans cette dernière fonction ; il est aisé de voir par les prin 
cipes établis, que si a et h sont regardés comme des fonctions 
de œ et j, la fonction prime de F (æ,j,z) relative à x, devra 
être augmentée, à raison des deux nouvelles variables a et h, de 
la quantité AF' (a) -{- b'F' (à), et que la fonction prime, relative àjr, 
devra être augmentée pareillement de a l F' (a) + b j F' (b). 
Supposons h = fa, on aura, en prenant les fonctions primes 
relativement à x et j, 
V = a'î'a = afi'a j 
donc les quantités à ajouter aux deux fonctions primes seront 
a! [ F' 0) + f'a X F' (b)] et a t [ F' (a) + ï'a X F' Çb)] ; 
par conséquent, elles disparaîtront à la fois en prenant «Telle 
qu’elle satisfisse à l’équation 
F'0) + fAx F'(à) = o; 
la fonction £a de a, qu’on a prise pour b, demeurant absolument 
arbitraire. 
De là résultent donc ces conclusions importantes : 
i°. Que l’équation primitive qui satisfait en général à une équa 
tion du premier ordre , doit renfermer une fonction arbitraire ; 
2°. Que si pour une équation donnée du premier ordre, on 
trouve une équation primitive F {x,j, z)~ o, qui renferme deux 
constantes arbitraires a et h, il n’y aura qu’à faire , et prendre 
a de manière qu’elle satisfasse à l’équation 
F'(a) + f'a X F' (b) = o; 
la fonction désignée par fa sera la fonction arbitraire ;