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THÉORIE DES FONCTIONS. 
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CHAPITRE XV. 
Formule remarquable pour le développement en série d’une 
fonction quelconque de l’inconnue z de l’équation z=x+yf.z. 
85. Cette propriété des équations primes de pouvoir servir à 
faire disparaître une fonction quelconque, est très-utile dans beau 
coup d’occasions , et surtout pour les développemens en série. 
Pour en donner un exemple, soit proposée réquation 
2 Z=X~j~yfz 
pour la détermination de 2, fs étant une fonction quelconque de z, 
et supposons qu’on demande la valeur de 2 en série suivant les 
puissances de j ; il est visible que les deux premiers termes seront 
x -f-jfr ; et si, pour trouver les termes suivons, on suppose 
2 = x -j-yùc -j- Ây* + Bjr 3 -[- etc., il faudra développer la fonction 
fs suivant les puissances de y, et comparer ensuite les termes 
pour pouvoir déterminer les valeurs de A , B, etc. ; mais, de cette 
manière, on n’aurait pas la loi de ces valeurs; il j aura donc de 
l’avantage à employer, au lieu de l’équation proposée , une équation 
du premier ordre où la fonction fs ne se trouve pas. 
Prenant donc les équations primes suivant x et suivant y, on 
aura 
2' = 1 -hyf'z xz', et Zjt= £s-hyf'z X z,, 
en dénotant par ï'z la fonction prime de fs relativement à 2 ; d’où 
éliminant ï'z, on tire d’abord 
2 / 2T2 S= O. 
Mais l’équation primitive donne