PREMIÈRE PARTIE, CHAP. XV. i4g 
P, Q, R, etc. étant des fonctions de x : substituant cette valeur, 
ainsi que celle de s trouvée ci-dessus, on aura 
(P r +Qy-{-Ry a -ESy 3 -f-etc.) (ïx-\-^ ( fx 3 etc.^i 
—Q — 2Rj—3Sy 2 — etc. = o • 
d’où l’on tire 
Q = P'fx, 2R, ~ Q'Cr 4. ~ ( &=)', 
3S = R'fx H- 2 (.&“)' +■ ~ (fx 3 )' 1 ; 
et ainsi de suite. 
Or, en substituant successivement les valeurs de Q, R, etc., il 
est aisé de reconnaître que les expressions de ces quantités peuvent 
se réduire à cette forme simple 
Q=P'fx, R = j(P'tx-)', S^^P'fx 3 )'', etc. 
La fonction P demeure indéterminée , à cause de l’élimination de la 
fonction p ; mais puisque « = <pz = <p (x~j~jfx -f- etc.), il est visible 
qu’on aura P == $x, et par conséquent V’-=.q>'x. 
Donc enfin, on aura 
cpz— <px -\-j(p'x{<p'xùc & y ^ {q'xïx 3 )” -f- etc., 
formule très-remarquable, et d’un grand usage dans l’analyse, sur 
tout pour le retour des suites. 
87. On pourrait parvenir immédiatement à ce dernier résultat 
par la formule de l’art. 53 ; car il n’y aurait qu’à regarder u comme 
une fonction de j, et chercher les fonctions primes , secondes, etc. 
de u relatives àjr, c’est-à-dire les valeurs de u n u tn etc. ) Faisant 
ensuite/= o, on aurait 
U î U D ^ U/ ‘ y 2T3 U,u 7 
pour les coefficiens P , Q, R, S, etc. de la série.