i6o THÉORIE DES FONCTIONS.
bitraire, satisfera dans toute son étendue à l’équation du premier
ordre en u, dans laquelle u est regardée comme fonction de x, j, z ;
mais u a été supposée égale à z n et s doit être, d’après l’équation
proposée, une fonction de a? et j; donc l’équation P c= <p ( Q, R)
est trop générale , et il faudra encore chercher les limitations qu’on
doit donner à la fonction arbitraire relativement aux deux quan
tités P et Q, pour que cette équation réponde exactement à
l’équation proposée.
Mais, sans entrer dans cette recherche, j’observe que, quelle
que puisse être la vraie forme de la fonction arbitraire, on peut
la supposer égale à une constante; de sorte que P = a, c’est-à-
dire, une des équations primitives des trois équations ci-dessus,
avec une constante arbitraire , donnera une valeur de «, qui sa
tisfera à l’équation en u.
Maintenant, en remettant z, pour u dans cette équation, on aura
une équation du premier ordre entre x, j, z et z,, dans laquelle z
devra être regardée comme fonction de x etj; mais puisque
cette équation ne contient que la fonction prime z n relative àjr,
on pourra regarder x comme constante, et z comme une simple
fonction de y ; on trouvera donc son équation primitive par l’ana
lyse des fonctions d’une seule variable , et puisque x est regardée
comme constante, la constante arbitraire qui entrera dans cette
équation primitive pourra être aussi une fonction quelconque de x,
que nous nommerons p.
On aura ainsi une valeur de s en x et y avec les deux quan
tités a et p, qui satisfera à l’équation proposée. La constante a
demeurera arbitraire ; mais la fonction p devra être déterminée
conformément à cette équation. Pour cela, il n’y aura qu’à y
substituer l’expression de z dont il s’agit ; tous les termes qui ren
fermeront y se détruiront, et il ne restera que des termes qui
contiendront x,p et p'j de sorte que l’on aura de nouveau une
équation du premier ordre entre les variables x et p, dont l’équa
tion primitive donnera la valeur de p en x, avec une nouvelle
constante arbitraire b.
De cette manière, on aura enfin une valeur de ? en .ï et/,
ave"
