i66 THÉORIE DES FONCTIONS.
differentes manières de considérer les tangentes ont donné lieu
aux méthodes algébriques fondées sur l’égalité des racines des
équations, et aux méthodes différentielles fondées sur le rapport
des différences infiniment petites, ou des fluxions des coordon
nées. Ces méthodes ne laissent rien à desirer pour la généralité
et la simplicité; mais ceux qui admirent avec raison l’évidence et
la rigueur des anciennes démonstrations, regrettent de ne pas
trouver ces avantages dans les principes de ces nouvelles mé
thodes. La théorie des fonctions que nous avons développée dans
la première partie, nous met en état de traiter le problème des
tangentes, et les autres problèmes du même genre, d’après les
notions et les principes des anciens , et de donner ainsi aux résul
tats de l’analyse le caractère qui distingue leurs solutions.
2. Pour considérer ces questions d’une manière générale, soit
j = ïx l’équation d’une courbe quelconque proposée, et 7 = F/?
l’équation d’une ligne droite ou d’une autre courbe qu’on veut
comparer à celle-là ; x et y sont l’abscisse et l’ordonnée de la pre
mière courbe, / et <7 sont aussi l’abscisse et l’ordonnée de l’autre
courbe , rapportées aux mêmes axes que x et/.
Pour que ces deux courbes aient un point commun relatif à
l’abscisse x, il faut qu’en faisantp = x, on ait <7 —j ; donc/-=F.r,
et par conséquent Fx = £r.
Pour comparer maintenant le cours de ces courbes au-delà de ce
point, on mettra dans leurs équations x-f- i à la place de x et de p,
et l’on aura f(x-j-I) et F(^-|- i) pour les ordonnées répondant
au même point de l’axe des x, et éloignées de la quantité i de
l’ordonnée qui passe par le point commun. Donc la différence de
ces ordonnées sera f(x-f- i) — F(x-j-i), savoir, en développant
les fonctions et observant que l’on a déjà ïx—Fx=o,
i(ï'x—F'x) + ^ (ï"x—F"x) ~i~jL(f'"x—F'"x)+ete.,
et cette différence exprimera la distance des points des deux courbes
qui répondent à la même abscisse x -{- i.
On voit d’abord en général que cette distance sera d’autant plus
