2 THÉORIE DES FONCTIONS. 
d’une manière quelconque d’une autre quantité. Leibnitz et les 
Bernoulli Font employé les premiers dans cette acception générale t 
et il est aujourd’hui généralement adopté. 
Lorsqu’à la variable d’une fonction on attribue un accroisse 
ment quelconque, en ajoutant à cette variable une quantité in 
déterminée, on peut par les règles ordinaires de l’algèbre, si la 
fonction est algébrique, la développer suivant les puissances de 
cette indéterminée. Le premier terme du développement sera la 
fonction proposée qu’on appellera fonction primitive; les termes 
suivans seront formés de différentes fonctions de la même variable, 
multipliées par les puissances successives de l’indéterminée. Ces 
nouvelles fonctions dépendront uniquement de la fonction primi 
tive dont elles dérivent, et pourront s’appeler fonctions dérivées. 
En général, quelle que soit la fonction primitive, algébrique ou 
non, elle peut toujours être développée ou censée développée de 
la même manière, et donner ainsi naissance à des fonctions déri 
vées. Les fonctions considérées sous ce point de vue , constituent 
une analyse d’un genre supérieur à l’analyse ordinaire , par sa géné 
ralité et ses nombreux usages ; et l’on verra dans cet ouvrage que 
l’analyse qu’on appelle vulgairement transcendante ou infinitésimale, 
n’est au fond que l’analyse des fonctions primitives et dérivées, et 
que les calculs différentiel et intégral ne sont, à proprement 
parler, que le calcul de ces mêmes fonctions. 
Les premiers géomètres qui ont employé le calcul différentiel, 
Leibnitz, les Bernoulli, l’Hôpital, etc. l’ont fondé sur la considération 
des quantités infiniment petites de differens ordres, et sur la suppo 
sition qu’on peut regarder et traiter comme égales, les quantités qui 
ne diffèrent entre elles que par des quantités infiniment petites à leur 
egard. Contens d’arriver par les procédés de ce calcul d’une manière 
prompte et sûre à des résultats exacts, ils ne se sont point occupés 
d’en démontrerles principes. Ceux qui les ont suivis, Euler, ééAlem- 
hertyt te., ont cherché à suppléer à ce défaut, en faisant voir, par des 
applications particulières, que les différences qu’on suppose infini 
ment petites, doivent être absolument milles, et que leurs rapports, 
seules quantités qui entrent réellement dans le calcul, ne sont autre 
chose que les limites des rapports des différences finies ou indéfinies,