SECONDE PARTIE, CHAP. IL i«i
même genre ne pourra passer entre ces deux, si elle if est pas
d’un degré plus haut.
i5. La théorie que nous venons de donner sur le contact des
courbes, n’est qu’une suite de la théorie générale du développe
ment des fonctions, exposée dans la première Partie. Mais nous
avons vu (art. 29 et suiv., i re P.) qu’il y a des cas particuliers où ce
développement échappe à la forme générale, et que ces cas sont
ceux où une valeur donnée de x rend infinies les fonctions déri
vées î'x , î r, x, etc. Alors le développement de f ( æ -f- i ) contien
dra nécessairement, pour cette valeur de x , d’autres puissances
de i que les simples puissances i, etc., et l’analyse des articles 5
et 4 se trouvera en défaut. Quoique ces exceptions ne portent
aucune atteinte à la théorie générale, il est nécessaire, pour ne
rien laisser à desirer, de voir comment elle doit être modifiée dans
les cas particuliers dont il s’agit.
Supposons donc qu’en faisant x = m , la fonction f ( x -f- i ) déve
loppée en une série ascendante de i, soit de la forme
îm + ki x + Bi A+r ' + C + etc.,
v, etc. étant toujours des nombres positifs.
Je remarque d’abord qu’on peut trouver les coefficiens A, B ,
C, etc., ainsi que les exposans A, jjl , v, etc., par une méthode sem
blable à celle de l’article 5 de la première partie. On fera d’abord
f ( m -f- i ) = îm •+• ,
et on prendra pour 1 la plus haute puissance de i qui divisera
f (/72 —f-i) — îm, après les réductions convenables, de manière que
le quotient P ne devienne ni nul, ni infini en faisant i = o. Lors
que m — o, l’exposant A pourra être négatif ; dans tout autre cas,
il sera évidemment toujours positif. On fera ensuite
P — A + Q,
A étant la valeur de P lorsque ¡s=o, et on prendra pour ¿‘“.la