i8a THÉORIE DES FONCTIONS. 
plus haute puissance positive de i, qui divisera P — A, de ma~ 
nière que le quotient Q ne devienne ni nul, ni infini lorsque i == o. 
On continuera en supposant 
QzzzB + ÉR, 
B étant la valeur de Q lorsque i = o, et i la plus haute puissance 
positive de i qui divisera Q — B, ensorte que le quotient R ne 
soit ni nul, ni infini lorsque ¿ = 05 et ainsi de suite. On aura, de 
cette manière, 
f ( m -f~ i ) = i'm -j- ÉP = £m + A -r Q 
= £m+ tA + t +f *B + jj_ e tc. 
On a, pour trouver les termes successifs d’une série, des mé 
thodes plus courtes ou d’un calcul plus facile, mais la précédente 
a l’avantage de ne développer la série qu’autant que l’on veut, et 
de donner la valeur du reste. Nous n’aurons pas besoin, pour 
notre objet, de connaître ces restes, il nous suffira de savoir 
qu’ils peuvent toujours s’exprimer par des quantités de la forme 
que nous venons de trouver. 
Cela posé , considérons la courbe représentée par l’équation 
y = fr, x étant l’abscisse , et y l’ordonnée; supposons qu’elle ait 
un point commun avec une autre courbe dont l’ordonnée soit Fa;, 
et que ce point réponde à l’abscisse m, ensorte que l’on ait F/>2 = fw, 
Au-delà de ce point, les ordonnées des deux courbes seront 
f (m -f- i), F ( m -f- i ) pour une abscisse quelconque et leur 
différence, que je désignerai par D , sera f(m-f-0 — F 
Développons la fonction F ( în + i) comme la fonction f (w-H)? 
et soit 
F(/« + i) = Fm4-iV, p ■=. a, f q y 7 =/8-f-É/’, etc., 
a-, t , etc, étant des nombres positifs, et a, ¡2, etc. étant les 
valeurs de p, q, etc. lorsque i = o ; on aura d’abord , à cause de 
F m îm,