SECONDE PARTIE, CHAP. III. ig 7 
Ces cas sont ceux où la relation donnée n’est qu’entre les 
élémens mêmes du contact, sans que les coordonnées x , y 
j entrent. 
Pour donner d’abord, par un exemple, une idée de ces sortes 
de problèmes , supposons qu’on demande la courbe dont chaque 
tangente coupera deux ordonnées (prolongées s’il est nécessaire) 
répondant aux abscisses données x = m et x = n, de manière que 
le produit des parties de ces ordonnées comprises entre la même 
tangente et l’axe des abscisses , soit toujours constant et égal à K. 
Puisque l’équation à la tangente est 
y = a -f- bp ( art. 6 ), 
en faisant successivement p = m et p = n, on aura les deux 
valeurs de <7, dont le produit devra être égal à K; on aura donc 
entre les élémens du contact a et h, l’équation 
{a -j- mh ) ( a -f- nb ) =5 K. 
La marche naturelle et directe serait donc de substituer à la place 
de a et h, leurs valeurs y —xf et y' (art. cité), on aurait alors 
cette équation du premier ordre 
[y~h( m ~ x)y'] [y'\-(n~~x)y']z=K, 
dont il ne serait pas aisé de trouver l’équation primitive par les 
méthodes ordinaires. 
Mais si on prend les fonctions primes de cette équation, il 
vient celle-ci, 
04- (fi — x) jr'J (m — a?)y r/ ~j~ [y-j- (m — x)y'] (n—x)y" = o, 
dont tous les termes se trouvent multipliés par y 1 '-, de sorte qu’elle 
peut se décomposer dans ces deux 
y ,===: 0 et [ y -f- [n—x)y ! ] (m—x) 4“ [y 4~ ( m — æ )j J ] («-—¿c) — o. 
La première, qui est du second ordre, donne sur-le-champ celle-ci 
du premier 
y = A,