SECONDE PARTIE, CHAP. III. 189 
de la proposée par l’élimination clej'. En effet, elle donne 
, __ ( gg: —m— n) y „ 
J 2{m—x) (n—x)* 
valeur qui étant substituée dans la proposée, la réduira à celle-ci 7 
r + 
4K ( m — ;r ) (n — a:) 
( m — n) 2 
O 
équation à l’ellipse ou à l’hyperbole, suivant que K sera une 
quantité positive ou négative. Le grand axe sera m—n, le petit 
axe \/K, et les deux sommets seront aux points où x^m et 
où x = n. 
La propriété des tangentes qui nous a conduits à cette équation , 
est démontrée dans la proposition XLII me du troisième livre des 
coniques Apollonius ; mais l’analyse précédente a l’avantage de 
faire voir que cette propriété appartient uniquement aux sections 
coniques. 
36. Si on examine maintenant les deux solutions qu’on vient de 
trouver, il est facile de voir que la première ne donne que la ligne 
droite même qu’on a supposée tangente, en regardant les deux 
élémens a et h comme constans ; car l’équation y = Ax -j- B ne 
diffère point de l’équation q — a~\-hp de cette tangente, l’èqua-! 
tion entre les deux constantes A et B étant évidemment la même 
que celle que l’on a supposée entre les quantités h et a. 
En effet, il est visible que toute droite peut résoudre le pro 
blème , pourvu qu’il y ait entre ses deux constantes, la relation 
donnée par les conditions du problème; et comme il reste une 
constante arbitraire, il s’ensuit que l’équation de cette droite doit 
être l’équation primitive complète de l’équation du premier ordre 
donnée par le problème. Donc, analytiquement parlant, le problème 
est résolu complètement par Féquation même j = a -f- hx, a et h 
étant deux constantes, dont l’une est arbitraire, et l’autre en dépend 
par l’équation 
( a -f- mh )(«-{- nh) = K. 
A l’égard de la seconde solution, comme elle ne contient point