SECONDE PARTIE , CHAP. III. i 9 5 
que nous ayons supposée ci-dessus une ligne droite, et soit 
<p (a, b) = o Féquation qui détermine la relation entre les deux 
élémens a et h , donnée par la nature du problème proposé; sui 
vant la théorie donnée dans ce même article , il faudra déterminer 
a et b par les deux équations 
F (a: ,jr , a, b ) = o et a, h)’z=: o. 
Or, nous avons vu dans la première Partie (art. 46) que si on 
élimine a et b des trois équations 
¥ a, b)=:o, F(, a, b )' = o et F(x,jr, a, b)''=: o , 
on a ure équation du second ordre entre et j", que nous 
désignerons par Y=o, et dont F(x,jr,a, ¿) = o sera féqua 
tion primitive complète, a et h étant les constantes arbitraires ; 
nous y avons vu aussi que si on élimine a ou b des deux pre 
mières, les deux résultantes seront des équations primitives du 
premier ordre de la même équation Y = o, et dont celle-ci sera 
le résultat, en prenant de nouveau les fonctions primes et élimi 
nant la constante qui y était restée ( art. 47 ). Donc, si de ces 
deux premières équations on tire les valeurs de a et h, que nous 
désignerons par P et Q, ensorte que Ton ait a = P, h = Q, 
P et Q étant des fonctions de jc,j etjr'j qu’ensuite on prenne 
les fonctions primes de ces équations, en y regardant toujours a 
et b comme constantes, on aura les équations du second ordre 
P' = o, Q' — o, qui devront coïncider avec féquation Y = o; de 
sorte qu’on aura nécessairement 
= MV, Q'=NY, 
M et N étant des fonctions de x, j et y' sans y ; car si, par 
exemple, M contenait encore j", alors féquation P'=0 donne 
rait, outre Y = o , cette autre équation du second ordre M= o , 
qui ne serait pas comprise dans la même équation Y= o ; ce qui 
ne se peut. 
Substituant donc ces valeurs de a et h dans féquation du pro 
blème [a, b) = o, on aura 
9(P,Q)= . 
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