2 i6 THÉORIE DES FONCTIONS, 
première , et aux deux premiers pour la seconde, on aura 
f ( x -f- i ) = £*? + iT ( x -F-j ) 
et 
F(x+ t) = Fa?4- îE'x~\~ l - ¥'{x~\~j), 
où j est une quantité indéterminée qui peut n’être pas la même 
pour les deux fonctions, mais qui doit toujours être renfermée 
entre les limites o et i. Il faudra donc que la fonction Fa? soit telle, 
que la quantité ïF'x -f- l - ¥' {x + j ) soit renfermée entre les li 
mites iïx et iïx + ¿ 2 F(a?+y), quelle que soit la valeur de i, et 
par conséquent en prenant i aussi petit qu’on voudra. Or, l’inter 
valle entre les deux limites étant ¿ a f' (|x -f-y ), la différence de la 
quantité dont il s’agit et de l’une des limites, savoir, 
i(F r x — ïx) 4- l - F"(x+y ) 
devra être moindre que ¿ a f'(a?+y), abstraction faite des signes 
de ces quantités. Mais il est aisé de prouver que cette condition ne 
peut avoir lieu pour une valeur de i aussi petite qu’on voudra , 
à moins que le terme affecté de i ne disparaisse ; car autrement 
on pourra toujours prendre i tel que la première quantité soit 
plus grande que la seconde, puisqu’il suffira que i soit plus petit 
aue - F x T-Æv—:—rr. On aura donc nécessairement 
^ f (œ+y)—JF {x+j) 
¥'x = ïx j 
et cette condition suffira pour la détermination de la fonction Fx, 
puisqu’on voit qu’elle ne sera autre chose que la fonction primi 
tive de ïx. 
Donc, en général, la fonction prime de la fonction qui exprime 
Faire d’une courbe par l’abscisse, est la fonction qui représente 
l’ordonnée de cette courbe j et réciproquement, la fonction qui 
exprime Faire ne peut être que la fonction primitive de celle qui 
exprime l’ordonnée. Ainsi, l’équation d’une courbe étant donnée, 
pour