SECONDE PARTIE, CHAP. VI. 219
deux extrémités, et terminées aux deux ordonnées qui répondent
à ses extrémités, prolongées, s’il le faut, au-delà de la courbe.
En effet, ayant mené la corde qui joindra les deux extrémités
de lare, il est aisé de voir que l’une des deux tangentes rencon
trera les ordonnées parallèles sous un angle plus aigu que la corde,
et que l’autre les rencontrera sous un angle moins aigu, et que
par conséquent la corde sera moindre que la première de ces tan
gentes , et plus longue que la seconde5 donc celle-ci sera, à plus
forte raison, moindre que l’arc de la courbe. De plus, si on con
sidère les deux triangles opposés au sommet, et formés par l’inter
section des deux tangentes, il est visible que les deux parties de
la première tangente seront respectivement plus longues que celles
de la seconde, parce que les côtés formés par ces parties-là, se
trouvent opposés à des angles plus grands que les côtés formés
par celles-ci. Donc la première tangente entière sera plus longue
que la somme des deux portions de tangentes comprises entre leur
point d’intersection et les extrémités de l’arc. Donc elle sera aussi
plus longue que l’arc.
Cela posé, ïx étant l’ordonnée qui répond à l’abscisse x , ï'x
sera (art. 7) la tangente de l’angle sous lequel la tangente de la
courbe à l’extrémité de cette ordonnée, est inclinée à l’axe des
abscisses; par conséquent iï'x sera la partie de l’ordonnée ï[x -f- i)
prolongée s’il est nécessaire, comprise entre la tangente et une
parallèle à l’axe, menée par l’extrémité de l’ordonnée ïx ; donc
V U*№ æ Y~\ —i pT 1 sera la partie de cette tangente
comprise entre les deux ordonnées , éloignées l’une de l’antre de
fintervalle i. De la même manière, on aura F {x-\-i) pour la tangente
de l’angle sous lequel la tangente de la courbe à l’extrémité de l’ordon
née ï(x-j-i) est inclinée à l’axe, et on trouvera ¿\/{ 1—f-[F (x-f-i)] 2 }
pour la partie de cette tangente comprise entre les mêmes ordon
nées ïx et ï{x -f- i).
Soit, pour plus de simplicité,
cpjc= \/1 -j- {î'x Y y
on aura i$x et ¿<p ( de -f- i) pour les deux tangentes menées aux
