¿20 THÉORIE DES FONCTIONS» 
deux extrémités de Tare de la courbe compris entre les ordonnées 
fr et f(.r-fO), et terminées à ces mêmes ordonnées; donc la 
longueur de cet arc devra être renfermée entre les deux quantités 
i(Dx et i<p ( x + i), en donnant à i une valeur aussi petite qu’on 
voudra. Donc si <X>x est la fonction de x qui exprime l’arc de la 
courbe , il faudra que la quantité <Ê> (x + i ) —®x, expression de 
l’arc compris entre les ordonnées fret f(x~j~i), soit comprise 
entre ces deux-ci i<px et ¿q>(x~}~i), quelque petit que soit i- 
d’àù, par un raisonnement semblable à celui de l’article 27, on 
conclura = (px. Donc , pour avoir la longueur indéfinie de la 
courbe , il faudra chercher la fonction primitive de la fonction 0x } 
où p[iq-(fx) s ]; et comme on peut ajouter une constante arbi 
traire à la fonction primitive, il faudra déterminer cette constante 
de manière que l’expression de l’arc s’évanouisse au point où l’on 
voudra le faire commencer. 
Donc, si on nomme 5 l’arc de la courbe dont les coordonnées 
sont x et y , on aura, en regardant j et 5 comme fonctions de x, 
à cause de îx , ï'x ==/', l’équation 
*'= CO +j"‘) > 
Et si x et y étaient données en fonctions d’une autre variable , 
comme t, alors, en désignant par x', y' 9 s f les fonctions primes 
relativement à cette variable, il faudrait substituer —, et —, à la place 
de j' et s' ( art. 28), ce qui donnerait cette équation 
entre les coordonnées et l’arc. 
Suivant le calcul différentiel, les fonctions dérivées / et y r se 
raient exprimées par ^ et ^, et l’équation s' = \/i -f-de 
viendrait 
ds = s/dx* -f- dj a , 
formule connue des rectifications. 
00. Si on imagine que la courbe proposée tournant autour de