SECONDE PAPvTîE, CHAP. VII. 3 a5 
les ordonnées j et s seront f(x + i), <p (æ-+- i) , elles ordonnées 
*!, r seront F ( x -f-1), O (x -f- i ) ; et faisant pour abréger, 
d=z — F (x-f- i) , cT = cp ( je -f- i) —3> (x-f-A), 
il est facile de concevoir que la distance D entre les points des 
deux courbes qui répondent à la même abscisse x + î, sera ex 
primée par 
D = v/C^ + cT*). 
De là, par une analyse semblable à celle qui a été développée au 
commencement de cette seconde Partie, on prouvera que si 
f 'x= F'x, <p'x = <i>'x, il sera impossible qu’aucune autre courbe 
donnée qui ne satisferait pas aux mêmes conditions, puisse passer 
entre les deux courbes dont il s’agit. 
Si l’on avait de plus 
f "x = F "oc et <p u x = <E> f/ x, 
on prouverait, de la même manière, qu’aucune autre courbe pour 
laquelle ces équations n’auraient pas lieu, ne pourrait passer entre 
les mêmes courbes ; et ainsi de suite. 
Ainsi, en appliquant aux courbes à double courbure les mêmes 
notions des différens ordres de contact des courbes ordinaires, on 
en conclura que les deux premières conditions détermineront un 
contact du premier ordre, que les deux suivantes détermineront 
un contact du second ordre ; et ainsi de suite. 
En général, en nommant z les coordonnées d’une courbe 
proposée, et /?,</, r les coordonnées de la courbe donnée, pour 
laquelle on demande les conditions du contact d’un ordre donné 
avec la courbe proposée, si F (p, q, r) = o, et $ (p , y, r) = o 
sont les deux équations de la courbe donnée, on aura pour un 
contact du premier ordre, les quatre équations 
F(x,jr, z) = o, F (x,y, z y = o, 
*) =o, $0,A, = 
pour un contact du second ordre, on aura de plus les deux 
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