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SECONDE PARTIE, CHAP. VUE 359 
& — / [^' — F'(a7 ? jK)3-f-o[^ y — F/C^ ? jr)] 
+ 7 [C'(îc + Az ? j-f- Ao) — F"(x 4- Ai, y -f- Ao)] 
+ û> [f'( jc + Aî ,jr 4" Ao) —-• F^ [x -}- Ai, j 4- Ao)] 
+ ~ [Îi (^4-A4j4- Ao) — F /< (a?4-Aï, j + Ao)]. 
Supposons que les termes multipliés par i et par o disparaissent, 
ce qui a lieu en faisant z' = Jï'(x,j) et z t =F y {x, j), l’ex 
pression de D ne contiendra plus que des termes d’un ordre su 
périeur; et il est facile de prouver qu’on pourra toujours prendre 
i et o assez petits pour que cette valeur de D devienne moindre 
que la valeur d’une pareille quantité pour une autre surface donnée , 
dans laquelle les termes multipliés par i et par o ne se détruiraient 
pas. Donc si l’équation /• == F [p, q ) de la surface donnée contient 
trois constantes arbitraires o, et qu’on les détermine de ma 
nière ¿1 satisfaire aux trois équations 
z = ¥(jc,j-), z' = Y' z t ~ YjÇoc 
il sera impossible qu’aucune autre surface qui ne satisferait pas 
aux mêmes conditions, puisse passer entre cette même surface et 
la surface proposée dont les coordonnées sont x,y, z. 
Il est visible que les trois équations précédentes ne sont autre 
chose que l’équation même de la surface donnée, en y changeant 
les coordonnées p, q, r en x, y, z, et les deux équations primes 
de celle-ci, prises suivant x et suivant j. D’où l’on peut con 
clure, en général, que si F (p, <7, ;’) = o est l’équation de la 
surface donnée , les trois équations dont il s’agit seront renfermées 
dans celles-ci 
F(x,j,^)=o, F(x,y, z)sso et F, {x,y, z ) = o. 
en regardant z comme fonction de ¿r et de sorte que si on dé 
signe simplement par F'(A), F / (jr), F r (z) les fonctions primes de 
F (x, y, z), prises relativement à x,j, z seuls, les deux dernières 
équations deviendront, 
F' (x) + z’W (*) = o, F' ( y ) + *,F' (*) = o.