PREMIÈRE PARTIE, CHAP. I. 9
Sairement irrationnelle, et aurait par conséquent un certain nombre
de valeurs différentes, qui serait le même pour la fonction f(x 4-¿),
ainsi que pour son développement. Mais ce développement étant
m
représenté par la série fic-E/K-f-ÿP-j-etc.4-ui n ~\~etc., chaque
valeur de fie se combinerait avec chacune des n valeurs du ra
dical vA' m ; de sorte que la fonction f(a:4-0 développée, aurait
plus de valeurs différentes que la même fonction non développée,
ce qui est absurde.
Cette démonstration est générale et rigoureuse, tant que x et i
demeurent indéterminées ; mais elle cesserait de l’être , si on don
nait à x des valeurs déterminées ; car il serait possible que ces
valeurs détruisissent quelques radicaux dans £r, qui pourraient
néanmoins subsister dans ffx + i )• Nous examinerons plus
bas ( chap. IV} ces cas particuliers et les conséquences qui en
résultent.
Nous venons de voir que le développement de la fonction
f( x 4- i ) ne saurait contenir en général des puissances fraction
naires de i ; il est facile de s’assurer aussi qu’il ne pourra con
tenir non plus des puissances négatives de i.
Car si parmi les termes de ce développement, il y en avait un
de la forme ? m , m étant un nombre entier positif, en faisant ¿=o ?
ce terme deviendrait infini- donc la fonction f(.r4-0 devrait
devenir infinie lorsque i = o ; par conséquent il faudrait que for
devînt infinie, ce qui ne peut avoir lieu que pour des valeurs par
ticulières de x.
5. Nous étant ainsi assurés de la forme générale" du dévelop
pement de la fonction f(x4-i), voyons plus particulièrement
en quoi ce développement consiste, et ce que signifie chacun de
ses termes.
On voit d’abord que si on cherche dans cette fonction ce qui
est indépendant de la quantité i, il n’y a qu’à faire i = o, ce qui
la réduit à fx. Ainsi fx est la partie de f(#4*0? reste l° rs ~