s46 THÉORIE DES FONCTIONS. 
en faisant, pour abréger, 
A = (i + z* )z' — z'% 
B = ( ! + z'*) Z„ — ( 1 + <) 2" 
C = ( 1 + z /a ) z' — z'zy'j 
et la résolution de cette équation donnera 
r B ± [/( B 2 + 4AC) , 
J "*”■ 2A * 
équation du premier ordre en x, y et y, puisque z étant, par la 
nature de la surface, une fonction donnée de x et y, les quantités 
A, B, C seront aussi des fonctions données de x et j. Donc réqua 
tion primitive en x et y renfermera une constante arbitraire, et 
représentera une infinité de courbes qui seront les projections 
des lignes de plus grande et de moindre courbure de la surface 
proposée. 
Si on combine les deux équations ci-dessus de manière à faire 
disparaître les termes où y et z — c se trouvent ensemble, on en. 
tirera 
(1 -f- z' 2 ) z n — z'z î' — Ay' 
Z C = ! j, ~ —- 
», — 21 Z /, 
Donc, substituant la valeur de y, et faisant de plus 
E 
on aura 
et de là 
d 
d’où l’on voit que les deux valeurs du radical donnent, Tune le 
maximum, et l’autre le minimum du rayon d. 
Il y a donc, à chaque point de la surface, deux branches qui se 
coupent et qui répondent, l’une à une ligne de plus grande, et 
l’autre à une ligne de moindre courbure ; et l’angle sous lequel elles 
se coupent, dépend de la double valeur de la quantité y, qui est 
= az'z y z' — ( 1 + z'*) z n -~ ( 1 + z*) z% 
, r _E± y/(B» + 4AC) 
2 0% — y ) * 
__ [Ezh v/(B* + 4AC)] Vil 4- d* 4- g* ) ,