1G THÉORIE DES FONCTIONS» 
que la quantité i devient nulle ; de sorte que f( #4“ i ) sera égale 
à ïx, plus à une quantité qui doit disparaître en faisant i — o, et 
qui sera par conséquent, ou pourra être censée multipliée par 
une puissance positive de i : et comme nous venons de démon 
trer que dans le développement de f(#4“0? ^ ne P eut en l rer 
aucune puissance fractionnaire de i, il s’ensuit que la quantité 
dont il s’agit, ne pourra être multipliée que par une puissance 
positive et entière de i ; elle sera donc de la forme ¿P, P étant 
une fonction de x et qui ne deviendra point infinie lorsque 
i = o. 
On aura donc ainsi 
f(x 4** ) E=5 fr -j- ¿P 7 
donc ï{x~\~i) — fx = ¿P, et par conséquent divisible par i-, la 
division faite, on aura 
p f(x + i) fjg 
Or, P étant une nouvelle fonction de æ et i, on pourra de 
même en séparer ce qui est indépendant de i, et qui par consé 
quent ne s’évanouit pas lorsque i devient nul. Soit donc p ce que 
devient P lorsqu’on fait i = o, p sera une fonction de x sans i ; 
et par un raisonnement semblable au précédent, on prouvera 
que P=^4» iQ, iQ étant la partie de P, qui devient nulle lorsque 
* = o, et Q étant une nouvelle fonction de x et f, qui ne devient 
pas infinie lorsque i = o. 
On aura donc P — p e= «Q, et par conséquent divisible par i \ 
la division faite, on aura 
Soit q la valeur de Q, en y faisant ¿=£20, q sera une fonction 
de x sans i, et la partie de Q, qui devient nulle lorsque i devient 
nul, sera comme ci-dessus de la forme ¿R, R étant une fonction 
de x et i, qui ne deviendra pas infinie lorsque i = o, et qu’on 
trouvera en divisant Q — q par i, et ainsi de suite.