SECONDÉ PARTIE , CHAP. Xîî. 2? 5 
où la plus haute des fonctions dérivées ¿y', a>", etc. sera d’un ordre 
moindre que dans la fonction proposée ; c’est de quoi il est facile 
de se convaincre avec un peu de réflexion sur la forme des fonc 
tions dérivées. Prenant donc la fonction prime de cette quantité, 
en regardant a, /3, y, etc. comme des fonctions de x, y étant 
supposé aussi fonction de x, on aura 
«/-{- û>/3'+ u>’ (/3 —f— y') + {y + cT ; ) -f- etc., 
et comparant avec la fonction proposée, on aura 
*'=o, /3' = f'(r), /3 etc. 
La première équation donne a égal à une constante arbitraire ; 
les autres équations serviront à déterminer /3, y, «f, etc.- et 
comme il est facile de voir que le nombre de ces quantités est 
nécessairement moindre d’une unité que celui des équations, il en 
résultera une équation de condition, qui devra être satisfaite pour 
que le maximum ou minimum ait lieu. 
Pour cela, il n’j a qu’à mettre ces équations sous cette forme 
/S'=f'(j), p+y"=[P(f)]', y" + r’=[P (/')]", etc., 
en prenant les fonctions primes de la seconde, les fonctions 
deuxièmes de la troisième, et ainsi de suite 5 retranchant ensuite 
alternativement l’une de l’autre, on aura 
f' (7) - [ f' (y)]'-f- [f (y 7 )]"— [f 7 (J 77, )] 77/ + etc. = o, 
où les traits appliqués aux parenthèses dénotent les fonctions 
primes, secondes, etc. des quantités renfermées entre ces pa 
renthèses. 
Cette équation sera donc commune au maximum et au mini 
mum , et servira à déterminer la valeur de y en fonction de x ; 
elle sera, comme il est aisé de le voir, d’un ordre double de celui 
de la fonction f {x, y, y, f... ). 
63. Les mêmes équations 
/3 + y = r(/), 5,+ ^'= {•'(/'), etc. 
J U 7 f