SECONDE PARTIE, CHAP, XII. 277
primitive de la quantité
f «T' (y ) + Wf" (jr, y ) + i a'T' (/ ) + etc.,
doit être entre les mêmes limites a et à de ¿r toujours positive pour
le minimum , et négative pour le maximum, en supposant que la
valeur de u soit quelconque et aussi petite qu’on voudra.
Je remarquerai d’abord ici que, quoique les fonctions f" (j),
f" etc. renferment essentiellement les quantités a , a/, etc.
(arf, 61 ), on peut prouver par un raisonnement semblable à celui
de l’article 55, qu’il suffira pour le maximum ou minimum, que la
condition dont il s’agit soit remplie en supposant le coefficient A
égal à zéro, ce qui fait disparaître ces quantités des fonctions dont
il s’agit, eusorte que ces fonctions ne seront plus alors que les
fonctions secondes de la fonction f' (x, y,y', y"... ), prises rela
tivement à y seul, à y et ay r seul, etc., et auront par con
séquent des valeurs déterminées en x, y, y\ etc.
Cela posé, si on rappelle ici le théorème que nous avons dé
montré dans la première Partie (art. 58), on en conclura que la
condition dont il s’agit serait satisfaite si la proposée
i (y) + Wf"(y, y') -f etc.
était telle qu’elle fût constamment positive ou négative pour toutes
les valeurs de x , depuis x = a jusqu’à x = 6, indépendamment
des quantités a>, o/', etc. ; et comme nous avons donné plus
haut ( art. 56 ) les conditions les plus générales pour qu’une quan
tité de la forme dont il s’agit soit nécessairement positive ou né
gative , il n’y aura qu’à examiner si ces conditions ont lieu dans
la quantité dont il s’agit. Si elles n’avaient pas lieu, ou si elles
n’avaient lieu que dans une partie de cette quantité , il faudrait
alors chercher la fonction primitive de l’autre partie, et la rendre
nulle, ou au moins positive pour le minimum, et négative pour le
maximum, indépendamment des quantités u> : a/, a/', etc.
65. Pour simplifier la solution de cette question, nous suppo
serons d’abord que la quantité proposée ne renferme que les carrés
et les produits des deux quantités a>, a/; on verra aisément que
