278 THÉORIE DES FONCTIONS. 
la même méthode s’étend aux cas plus compliqués ; et nous re 
présenterons par cette formule 
&) a M -R moù'N —E ¿¿ /2 P, 
la partie de la même quantité qui est toujours positive ou négative 
entre les limites x = a, x-=.h^ l’autre partie sera 
•* K f" (y )—M] + —' [f" {y, /) ;-H ] + * [ Ï f" (/) — P]» 
dont il faudra chercher la fonction primitive, et il est facile de s’as 
surer d’avance, que pour que la quantité ¿¿demeure indéterminée, 
cette fonction ne pourra être que de la forme /z + où*v j prenant 
donc sa fonction prime, et comparant terme à terme avec la 
précédente, on aura 
O, K' —if"0) — M, 2*=f"0,y) — N, 
et o = if"(/)-P. 
La première de ces équations donne ¿z égale à une constante 
arbitraire, et les trois autres serviront à déterminer les valeurs de 
M, N, P, qui seront 
M = N = P=n '"(/), 
et il faudra que ces valeurs satisfassent aux conditions qui résultent 
des formules de l’article 56. Or, en prenant les quantités oJ et cù 
à la place des quantités p et q, et par conséquent P, N, M à la 
N 2 
place de A, B, C, et faisant T = M—- on aura pour le mini 
mum les deux conditions P > o et T > o, et pour le maximum les 
conditions opposées, P< o et T<o, ou bien l’une des deux quan 
tités P, T égale à zéro, tant pour le minimum que pour le maximum, 
et ces conditions devront avoir lieu pour toutes les valeurs de x, 
depuis x=a jusqu’à x=. h, pour que la quantité û/ a P+û>a'N-Ha“M 
soit constamment positive dans le premier cas, et négative dans 
le second, entre ces mêmes limites. Comme la quantité P est 
donnée, elle indiquera tout de suite le maximum on minimum; mais 
on n’en sera assuré que par l’autre condition T> ou <o 7 ou bien 
= o pour les deux cas.