SECONDE PARTIE, CHAP. XII. 379
C)G. De pins, et c’est ici une condition bien essentielle, il faudra que
les quantités M, N, P ne deviennent point infinies entre les mêmes
limites, pour qu’on puisse être assuré que la fonction primitive
de la quantité dont il s’agit, sera nécessairement positive ou né
gative , d’après le théorème de l’article 38 de la première Partie ;
car ce théorème étant fondé sur la nature du développement des
fonctions en séries des puissances positives de la quantité ajou
tée à la variable , est nécessairement sujet aux exceptions atta
chées à la forme de ce développement, que nous avons exami
nées dans farticle 5o , première Partie, et l’article i3 ci-dessus;
il pourra donc être en défaut, si les fonctions dérivées de la fonc
tion primitive deviennent infinies, parce qu’alors le développement
n’aura plus la même forme; c’est ce qui arrivera nécessairement,
lorsque la fonction primitive passera du positif au négatif par iïn-
fini, comme les tangentes des angles; alors pour la valeur de x
répondant à ce passage, le développement de la fonction de x + *
aura son premier terme de la forme Ai m , in étant un nombre impair
négatif, et la fonction prime, ainsi que toutes les suivantes , seront
infinies. Dans ce cas, la fonction primitive pourra changer de signe,
quoique sa fonction prime conserve toujours le même signe.
Pour en voir un exemple bien simple, il n’y a qu’à considé
rer la fonction j—' , qui est = i lorsque x = |, et = — 2
lorsque x = 2; cependant sa fonction prime — -j-— est toujours
positive tant que x a une valeur réelle. Ici la fonction primitive
et toutes ses dérivées deviennent infinies lorsque x= 1.
C’est une modification à apporter au théorème dont il s’agit, mais
qui n’influe point sur la conclusion qu’on en a tirée dans l’article 3g-
67. Ayant satisfait à ces conditions, on aura la fonction primi
tive /x -f- tfv, dans laquelle /a est une constante arbitraire qu’on
déterminera, ensorte que la fonction soit nulle lorsque x = a.
Supposons = (II), et soit (A) la valeur de (í¿) lorsque x: = a,
on aura = — ( A ) , ainsi la fonction primitive dont il s’agit, sera
(ii) — (A) , laquelledevra être nulle ou positive pour le minimum,
